1501.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x2+x+1)(x2+x+2)−12=0(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se izraz x2+x x^2 + x pojavljuje u oba faktora. Uvodimo smenu:

t=x2+xt = x^2 + x

Zamenom smene u početnu jednačinu dobijamo novu jednačinu po t: t :

(t+1)(t+2)−12=0(t + 1)(t + 2) - 12 = 0

Množimo zagrade i sređujemo jednačinu:

t2+2t+t+2−12=0t2+3t−10=0t^2 + 2t + t + 2 - 12 = 0 \\ t^2 + 3t - 10 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći formulu:

t1,2=−3±32−4⋅1⋅(−10)2⋅1=−3±492t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=−3+72=2,t2=−3−72=−5t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5

Vraćamo smenu za prvi slučaj t1=2: t_1 = 2 :

x2+x=2  ⟹  x2+x−2=0x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0

Rešavamo prvu kvadratnu jednačinu po x: x :

x1,2=−1±1−4(1)(−2)2=−1±32  ⟹  x1=1,x2=−2x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = -2

Vraćamo smenu za drugi slučaj t2=−5: t_2 = -5 :

x2+x=−5  ⟹  x2+x+5=0x^2 + x = -5 \implies x^2 + x + 5 = 0

Računamo rešenja u skupu konjugovano-kompleksnih brojeva jer je diskriminanta negativna:

x3,4=−1±1−4(1)(5)2=−1±−192=−1±i192x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-19}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{19}}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x∈{1,−2,−1+i192,−1−i192}x \in \left\{ 1, -2, \frac{-1 + i\sqrt{19}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{19}}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti