215.

Izvod višeg reda 8

TEKST ZADATKA

Odrediti drugi izvod:

y=ax⋅x3y=a^x \cdot x^3
REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y′=(ax⋅x3)′y'=(a^x \cdot x^3)'

Primeniti formulu za izvod proizvoda: (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x) (f (x) \cdot g(x))'= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

y′=(ax)′⋅x3+ax⋅(x3)′y'=(a^x)' \cdot x^3+a^x \cdot (x^3)'
y′=axln⁡a⋅x3+ax⋅3x2y'=a^x\ln{a} \cdot x^3+a^x \cdot 3x^2

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade.

y′=x2ax(xln⁡a+3)y'=x^2a^x(x\ln{a}+3)

Izračunati izvod prvog izvoda:

y′′=(ln⁡a∗ax∗x3+3x2ax)′y''=(\ln{a}*a^x*x^3+3x^2a^x)'

Izraz se može drugačije zapisati:

y′′=ln⁡a∗y′+(3x2ax)′y''=\ln{a}*y'+(3x^2a^x)'

Zamenjuje se y′y'i primenjuje se formula za izvod proizvoda:

y′′=ln⁡a∗x2ax(xln⁡a+3)+3(2x∗ax+ax∗ln⁡a∗x2)y''=\ln{a}*x^2a^x(x\ln{a}+3)+3(2x*a^x+a^x*\ln{a}*x^2)

Sređuje se izraz:

y′′=ln⁡a∗x3∗ax(xln⁡a+3)+3ax∗x(2+xln⁡a)y''=\ln{a}*x^3*a^x(x\ln{a}+3)+3a^x*x(2+x\ln{a})
y′′=ln⁡2a∗x3ax+3ln⁡a∗x2ax+6xax+3xaxln⁡ay''=\ln^2{a}*x^3a^x+3\ln{a}*x^2a^x+6xa^x+3xa^x\ln{a}