214.

Izvod višeg reda 7

TEKST ZADATKA

Izračunati drugi izvod:

y=arcsin⁡x2y=\arcsin{\frac{x}{2}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y′=(arcsin⁡x2)′y'=(\arcsin{\frac{x}{2}})'

Primeniti formulu izvoda složene funkcije: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x).(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).

y′=11−(x2)2⋅(x2)′y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}\cdot (\frac{x}{2})'

Srediti izraz:

y′=11−x24⋅12y'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\cdot \frac{1}{2}
y′=124−x24y'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}}
y′=12⋅4−x22=14−x2y'=\frac{1}{\cancel{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{\cancel{2}}}=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}

Navedeni izraz može se drugačije zapisati:

y′′=((4−x2)−12)′y''=((4-x^2)^{-\frac{1}{2}})'

Primenjuje se pravilo za izvod složene funkcije:

y′′=−12⋅(4−x2)−12−1⋅(4−x2)′y''=-\frac{1}{2} \cdot (4-x^2)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot(4-x^2)'

Sređuje se izraz:

y′′=−12(4−x2)−32⋅(−2x)y''=-\frac{1}{\cancel{2}}(4-x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-\cancel{2}x)
y′′=x(4−x2)3y''=\frac{x}{\sqrt{(4-x^2)^3}}