829.

Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti ppiqqsu koreni jednačine x2+px+q=0x^2+px+q=0jednaki brojevima ppiq?q?

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}gde je a=1, b=pa=1, \space b=pi c=q.c=q.

x1=−p+p2−4q2,x2=−p−p2−4q2x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}, \quad x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}

Kvadrirati obe strane jednačine

9p2=p2−4q8p2+4q=0  ⟹  q=−2a29p^2=p^2-4q\\ 8p^2+4q=0 \implies q=-2a^2

Uzeti da je x2=qx_2=qi srediti izraz.

q=−p−p2−4q22q=−p−p2−4q2q+p=−p2−4qq=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\\ 2q=-p-\sqrt{p^2-4q}\\ 2q+p=-\sqrt{p^2-4q}

Uzeti da je x1=px_1=pi srediti izraz.

p=−p+p2−4q22p=−p+p2−4q3p=p2−4qp=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\\ 2p=-p+\sqrt{p^2-4q}\\ 3p=\sqrt{p^2-4q}

Primeniti formulu za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

p2+4pq+4q2=p2−4q4q2+4pq+4q=0q2+pq+q=0p^2+4pq+4q^2=p^2-4q\\ 4q^2+4pq+4q=0\\ q^2+pq+q=0

Uvrstiti izraz za qqu jednačinu q2+pq+q=0.q^2+pq+q=0.

(−2p2)2+p(−2p2)−2p2=04p4−2p3−2p2=0(-2p^2)^2+p(-2p^2)-2p^2=0\\ 4p^4-2p^3-2p^2=0\\

Izvući p2p^2ispred zagrade i srediti izraz.

p2(2p2−p−1)=0p^2(2p^2-p-1)=0

Proizvod dva broja je jednak nuli kada je jedan od tih brojeva nula.

p2=0  ⟹  p=0, q=02p2−p−1=0p^2=0 \implies p=0, \space q=0\\ 2p^2-p-1=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}gde je a=2, b=−1a=2, \space b=-1i c=−1.c=-1.

p2=1  ⟹  q2=−2p3=−12  ⟹  q3=−12p_2=1 \implies q_2=-2\\ p_3=-\frac{1}{2}\implies q_3=-\frac{1}{2}

Da bi jednačina imala dva korena potrebno je da uslov D≥0D\geq0bude ispunjen.

Odrediti diskriminantu D=b2−4ac,D=b^2-4ac , gde su a=1, b=p, c=qa=1, \ b=p, \ c=q

D=p2−4qD=p^2-4q

Izvući p2p^2ispred zagrade i srediti izraz.

p2(2p2−a−1)=0p^2(2p^2-a-1)=0

Izvući p2p^2ispred zagrade i srediti izraz.

p2(2p2−a−1)=0p^2(2p^2-a-1)=0

Uvrstiti dobijeni izraz za diskriminantu.

p2−4q≥0p^2-4q\geq0

Uvrstiti izraz za qqu nejednačinu.

p2+8p2≥09p2≥0p2≥0  ⟹  p≥0p^2+8p^2\geq0\\ 9p^2\geq0\\ p^2\geq0 \implies p\geq0

Zbog uslova zadatka konačna rešenja su p1=0, q1=0p_1=0,\space q_1=0i p2=1, q2=−2.p_2=1,\space q_2=-2.

Zbog uslova zadatka konačna rešenja su p1=0, q1=0p_1=0,\space q_1=0i p2=1, q2=−2.p_2=1,\space q_2=-2.

Zbog uslova zadatka konačna rešenja su p1=0, q1=0p_1=0,\space q_1=0i p2=1, q2=−2.p_2=1,\space q_2=-2.

Zbog uslova zadatka konačna rešenja su p1=0, q1=0p_1=0,\space q_1=0i p2=1, q2=−2.p_2=1,\space q_2=-2.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti