1924.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

3x−5+x−2>4x−3\sqrt{3x-5} + \sqrt{x-2} > \sqrt{4x-3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Potrebno je da svi izrazi pod korenom budu nenegativni.

{3x−5≥0x−2≥04x−3≥0\begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ 4x-3 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina.

{x≥53x≥2x≥34\begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \ge 2 \\ x \ge \frac{3}{4} \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen nejednačine.

x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)

Pošto su za x≥2 x \ge 2 obe strane nejednačine nenegativne, možemo kvadrirati celu nejednačinu.

(3x−5+x−2)2>(4x−3)2(\sqrt{3x-5} + \sqrt{x-2})^2 > (\sqrt{4x-3})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levoj strani.

(3x−5)+2(3x−5)(x−2)+(x−2)>4x−3(3x-5) + 2\sqrt{(3x-5)(x-2)} + (x-2) > 4x-3

Sređujemo izraz sabiranjem sličnih članova.

4x−7+2(3x−5)(x−2)>4x−34x - 7 + 2\sqrt{(3x-5)(x-2)} > 4x - 3

Oduzimamo 4x 4x sa obe strane i prebacujemo −7 -7 na desnu stranu.

2(3x−5)(x−2)>42\sqrt{(3x-5)(x-2)} > 4

Delimo celu nejednačinu sa 2.

(3x−5)(x−2)>2\sqrt{(3x-5)(x-2)} > 2

Pošto su obe strane pozitivne, ponovo kvadriramo nejednačinu.

(3x−5)(x−2)>4(3x-5)(x-2) > 4

Množimo binome na levoj strani.

3x2−6x−5x+10>43x^2 - 6x - 5x + 10 > 4

Sređujemo kvadratnu nejednačinu.

3x2−11x+6>03x^2 - 11x + 6 > 0

Faktorišemo kvadratni trinom kako bismo odredili znak.

(3x−2)(x−3)>0(3x-2)(x-3) > 0
x∈(−∞,23)x \in (-\infty, \frac{2}{3})
x∈(23,3)x \in (\frac{2}{3}, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
3x−23x-2
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
(3x−2)(x−3)(3x-2)(x-3)
++
++
++

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine je unija intervala gde je proizvod pozitivan.

x∈(−∞,23)∪(3,+∞)x \in \left(-\infty, \frac{2}{3}\right) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku ovog rešenja i domena nejednačine x∈[2,+∞). x \in [2, +\infty) .

x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti