1923.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

x+2<4−x\sqrt{x+2} < 4-x
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratni koren bio definisan, potkorena veličina mora biti nenegativna.

x+2≥0  ⟹  x≥−2x+2 \ge 0 \implies x \ge -2

Pošto je kvadratni koren uvek nenegativan, desna strana nejednačine mora biti strogo pozitivna da bi nejednačina imala rešenja.

4−x>0  ⟹  x<44-x > 0 \implies x < 4

Presek ova dva uslova nam daje oblast u kojoj tražimo rešenje.

x∈[−2,4)x \in [-2, 4)

Sada kada znamo da su obe strane nenegativne na ovom intervalu, možemo kvadrirati nejednačinu.

(x+2)2<(4−x)2(\sqrt{x+2})^2 < (4-x)^2

Kvadriramo izraze na obe strane.

x+2<16−8x+x2x+2 < 16 - 8x + x^2

Prebacimo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu nejednačinu.

x2−9x+14>0x^2 - 9x + 14 > 0

Nalazimo nule kvadratne jednačine x2−9x+14=0 x^2 - 9x + 14 = 0 kako bismo je faktorisali.

x1,2=9±(−9)2−4⋅1⋅142=9±52x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}

Rešenja su x1=2 x_1 = 2 i x2=7, x_2 = 7 , pa nejednačinu možemo zapisati u faktorisanom obliku.

(x−2)(x−7)>0(x-2)(x-7) > 0
x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2)
x∈(2,7)x \in (2, 7)
x∈(7,+∞)x \in (7, +\infty)
x−2x-2
++
++
++
x−7x-7
++
++
++
(x−2)(x−7)(x-2)(x-7)
++
++
++

Na osnovu tabele znakova, rešenje kvadratne nejednačine je tamo gde je izraz pozitivan.

x∈(−∞,2)∪(7,+∞)x \in (-\infty, 2) \cup (7, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja kvadratne nejednačine i početnog uslova x∈[−2,4). x \in [-2, 4) .

x∈[−2,4)∩((−∞,2)∪(7,+∞))x \in [-2, 4) \cap ((-\infty, 2) \cup (7, +\infty))

Presek ovih intervala daje konačno rešenje nejednačine.

x∈[−2,2)x \in [-2, 2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti