1868. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne.

\begin{cases} 2x + 9 \ge 0 \\ 3x + 16 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina.

\begin{cases} x \ge -\frac{9}{2} \\ x \ge -\frac{16}{3} \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine.

x \in \left[-\frac{9}{2}, +\infty\right)

Kvadriramo obe strane polazne jednačine.

(\sqrt{2x+9} + \sqrt{3x+16})^2 = 7^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levoj strani.

2x + 9 + 2\sqrt{(2x+9)(3x+16)} + 3x + 16 = 49

Sređujemo izraz i množimo binome pod korenom.

5x + 25 + 2\sqrt{6x^2 + 59x + 144} = 49

Prebacujemo sve članove bez korena na desnu stranu.

2\sqrt{6x^2 + 59x + 144} = 24 - 5x

Da bismo ponovo kvadrirali, desna strana mora biti nenegativna. Postavljamo novi uslov.

24 - 5x \ge 0 \implies x \le \frac{24}{5}

Uzimajući u obzir prethodni domen, ukupan uslov za rešenja je presek uslova.

x \in \left[-\frac{9}{2}, \frac{24}{5}\right]

Ponovo kvadriramo obe strane jednačine.

4(6x^2 + 59x + 144) = (24 - 5x)^2

Sređujemo obe strane.

24x^2 + 236x + 576 = 576 - 240x + 25x^2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

x^2 - 476x = 0

Faktorišemo kvadratnu jednačinu.

x(x - 476) = 0

Rešenja kvadratne jednačine su:

x_1 = 0, \quad x_2 = 476

Proveravamo da li rešenja ispunjavaju uslov $x \in \left[-\frac{9}{2}, \frac{24}{5}\right] .$

0 \in \left[-\frac{9}{2}, \frac{24}{5}\right], \quad 476 \notin \left[-\frac{9}{2}, \frac{24}{5}\right]

Zaključujemo da je jedino rešenje jednačine:

x = 0

1868.Iracionalne jednačine i nejednačine