1869.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

3x2−3x=x+23\sqrt{x^2-3x} = x+2
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratni koren bio definisan, potkorena veličina mora biti nenegativna. Takođe, pošto je leva strana jednačine nenegativna (koren je uvek veći ili jednak nuli), i desna strana mora biti nenegativna. Postavljamo uslove:

{x2−3x≥0x+2≥0\begin{cases} x^2 - 3x \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu x2−3x≥0: x^2 - 3x \ge 0 :

x(x−3)≥0  ⟹  x∈(−∞,0]∪[3,+∞)x(x - 3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu x+2≥0: x + 2 \ge 0 :

x≥−2  ⟹  x∈[−2,+∞)x \ge -2 \implies x \in [-2, +\infty)

Pronalazimo presek ova dva uslova kako bismo dobili domen rešenja:

x∈[−2,0]∪[3,+∞)x \in [-2, 0] \cup [3, +\infty)

Sada kvadriramo obe strane polazne jednačine:

(3x2−3x)2=(x+2)2(3\sqrt{x^2-3x})^2 = (x+2)^2

Primenjujemo kvadrat na obe strane:

9(x2−3x)=x2+4x+49(x^2 - 3x) = x^2 + 4x + 4

Množimo izraz na levoj strani:

9x2−27x=x2+4x+49x^2 - 27x = x^2 + 4x + 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo formirali kvadratnu jednačinu:

8x2−31x−4=08x^2 - 31x - 4 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(−31)2−4⋅8⋅(−4)=961+128=1089D = (-31)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-4) = 961 + 128 = 1089

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine koristeći formulu x1,2=−b±D2a: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} :

x1,2=31±108916=31±3316x_{1,2} = \frac{31 \pm \sqrt{1089}}{16} = \frac{31 \pm 33}{16}

Računamo prvo rešenje x1: x_1 :

x1=31+3316=6416=4x_1 = \frac{31 + 33}{16} = \frac{64}{16} = 4

Računamo drugo rešenje x2: x_2 :

x2=31−3316=−216=−18x_2 = \frac{31 - 33}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu x∈[−2,0]∪[3,+∞): x \in [-2, 0] \cup [3, +\infty) :

4∈[3,+∞)i−18∈[−2,0]4 \in [3, +\infty) \quad \text{i} \quad -\frac{1}{8} \in [-2, 0]

Oba rešenja zadovoljavaju uslove, pa je konačan skup rešenja:

x∈{−18,4}x \in \left\{-\frac{1}{8}, 4\right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti