668.

Iracionalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x−1)24−(x+1)24=32x2−14\sqrt[4]{(x-1)^2}-\sqrt[4]{(x+1)^2}=\frac 32\sqrt[4]{x^2-1}
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

x2−1≥0  ⟹  x∈(−∞,−1] ∪ [1,∞)x^2-1\ge0 \implies x\in(-\infty, -1] \ \cup \ [1, \infty)

Pošto su izrazi (x−1)2(x-1)^2 i (x+1)2(x+1)^2 uvek pozitivni, nema potrebe za dodatnom proverom njihovih definisanosti.

Podeliti izraz sa x2−14, x≠±1.\sqrt[4]{x^2-1}, \ x\not=\pm1 .

(x−1)2x2−14−(x+1)2x2−14=32\sqrt[4]{\frac{(x-1)^2} {x^2-1}}-\sqrt[4]{\frac{(x+1)^2}{x^2-1}}=\frac 32

Primeniti formulu za razliku kvadrata: a2−b2=(a−b)(a+b) a^2-b^2=(a-b)(a+b) i skratiti zajedničke činioce.

(x−1)2(x−1)(x+1)4−(x+1)2(x−1)(x+1)4=32x−1x+14−x+1x−14=32\sqrt[4]{\frac{(x-1)^2} {(x-1)(x+1)}}-\sqrt[4]{\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}}=\frac 32 \\ \sqrt[4]{\frac{x-1} {x+1}}-\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=\frac 32

Uvesti smenu x−1x+14=t,  t>0. \sqrt[4]{\frac{x-1} {x+1}}=t, \ \ t>0 .

t−t−1=32t−1t=32t-t^{-1}=\frac{3}{2} \\ t-\frac{1}{t} = \frac{3}{2}

Pomnožiti izraz sa 2t.2t.

2t2−3t−2=02t^2-3t-2=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−3b=-3 i c=−2c=-2

2t2−3t−2=0t1,2=3±(−3)2−4⋅2⋅(−2)2⋅2t1,2=3±9+164t1,2=3±54t1=2∨t2=−122t^2-3t-2= 0 \\ t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)}} {2\cdot2} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{9+16}} {4} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm 5} {4} \\ t_1=2 \quad \lor \quad t_2=-\frac 12

Rešenje t2=−12t_2=-\frac 12 ne zadovoljava uslovu t>0,t>0, tako da se ono odbacuje.

Vratiti promenljivu xx umesto t.t.

x−1x+14=2\sqrt[4]{\frac{x-1} {x+1}}=2

Rešavanjem jednačine dobija se:

x=−1715x=-\frac {17} {15}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti