TEKST ZADATKA
Rešiti jednačinu:
x 3 + x + 1 3 + x + 2 3 = 0 \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 2 = 0 REŠENJE ZADATKA
Kubni koren je definisan za sve realne brojeve, što znači da izrazi x 3 , \sqrt[3]{x}, 3 x , x + 1 3 \sqrt[3]{x+1} 3 x + 1 i x + 2 3 \sqrt[3]{x+2} 3 x + 2 nemaju ograničenja u domenu. Zaključuje se da je jednačina definisana na celom skupu realnih brojeva.
Prebaciti x + 2 3 \sqrt[3]{x+2} 3 x + 2 na drugu stranu znaka jednakosti.
x 3 + x + 1 3 = − x + 2 3 \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}=-\sqrt[3]{x+2} 3 x + 3 x + 1 = − 3 x + 2 Podići obe strane na treći stepen.
( x 3 + x + 1 3 ) 3 = ( − x + 2 3 ) 3 ( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})^3=(-\sqrt[3]{x+2})^3 ( 3 x + 3 x + 1 ) 3 = ( − 3 x + 2 ) 3 Primeniti formulu za kub zbira ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b ) . (a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b). ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 ab ( a + b ) .
x + x + 1 + 3 ⋅ x 3 ⋅ x + 1 3 ⋅ ( x 3 + x + 1 3 ) = − x − 2 3 x ( x + 1 ) 3 ⋅ ( x 3 + x + 1 3 ) = − x − 2 − 2 x − 1 3 x ( x + 1 ) 3 ⋅ ( x 3 + x + 1 3 ) = − 3 x − 3 3 x ( x + 1 ) 3 ⋅ ( x 3 + x + 1 3 ) = − 3 ( x + 1 ) x ( x + 1 ) 3 ⋅ ( x 3 + x + 1 3 ) = − ( x + 1 ) x+x+1+3\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x+1}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-x-2 \\
3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-x-2-2x-1 \\
3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-3x-3 \\
3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-3(x+1) \\
\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-(x+1) x + x + 1 + 3 ⋅ 3 x ⋅ 3 x + 1 ⋅ ( 3 x + 3 x + 1 ) = − x − 2 3 3 x ( x + 1 ) ⋅ ( 3 x + 3 x + 1 ) = − x − 2 − 2 x − 1 3 3 x ( x + 1 ) ⋅ ( 3 x + 3 x + 1 ) = − 3 x − 3 3 3 x ( x + 1 ) ⋅ ( 3 x + 3 x + 1 ) = − 3 ( x + 1 ) 3 x ( x + 1 ) ⋅ ( 3 x + 3 x + 1 ) = − ( x + 1 ) Pošto se na levoj strani jednačine pojavljuje izraz x 3 + x + 1 3 , \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1} , 3 x + 3 x + 1 , koji je na početku rešavanja zadatka već izražen kao x 3 + x + 1 3 = − x + 2 3 , \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}=-\sqrt[3]{x+2}, 3 x + 3 x + 1 = − 3 x + 2 , može se izvršiti zamena.
x ( x + 1 ) 3 ⋅ ( − x + 2 3 ) = − ( x + 1 ) x ( x + 1 ) 3 ⋅ x + 2 3 = x + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) 3 = x + 1 \sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (-\sqrt[3]{x+2})=-(x+1) \\
\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot \sqrt[3]{x+2}=x+1 \\
\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)}=x+1 3 x ( x + 1 ) ⋅ ( − 3 x + 2 ) = − ( x + 1 ) 3 x ( x + 1 ) ⋅ 3 x + 2 = x + 1 3 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = x + 1 Podići obe strane na treći stepen.
x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ( x + 1 ) 3 x(x+1)(x+2)=(x+1)^3 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ( x + 1 ) 3 Rešavanjem jednačine dobija se:
x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ( x + 1 ) 3 x(x+1)(x+2)=(x+1)^3 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ( x + 1 ) 3 ( x 2 + x ) ( x + 2 ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 (x^2+x)(x+2)=x^3+3x^2+3x+1 ( x 2 + x ) ( x + 2 ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 x 3 + 2 x 2 + x 2 + 2 x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 x^3+2x^2+x^2+2x=x^3+3x^2+3x+1 x 3 + 2 x 2 + x 2 + 2 x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 Proveriti da li x = − 1 x=-1 x = − 1 može biti rešenje uvrštavanjem u jednačinu:
− 1 3 + − 1 + 1 3 + − 1 + 2 3 = − 1 3 + 0 3 + 1 3 = − 1 + 0 + 1 = 0 \sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1+1}+\sqrt[3]{-1+2}= \sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{1}=-1+0+1=0 3 − 1 + 3 − 1 + 1 + 3 − 1 + 2 = 3 − 1 + 3 0 + 3 1 = − 1 + 0 + 1 = 0