TEKST ZADATKA
Rešiti jednačinu:
12 − x x 2 − 8 = 3 \sqrt{12-x\sqrt{x^2-8}}=3 12 − x x 2 − 8 = 3 REŠENJE ZADATKA
Jednačina je definisana za:
12 − x x 2 − 8 ≥ 0 ∧ x 2 − 8 ≥ 0 12-x\sqrt{x^2-8}\ge0 \quad \land \quad x^2-8\ge0 12 − x x 2 − 8 ≥ 0 ∧ x 2 − 8 ≥ 0 Kvadrirati obe strane.
( 12 − x x 2 − 8 ) 2 = 3 2 12 − x x 2 − 8 = 9 \Big(\sqrt{12-x\sqrt{x^2-8}} \ \Big)^2=3^2 \\
12-x\sqrt{x^2-8}=9 ( 12 − x x 2 − 8 ) 2 = 3 2 12 − x x 2 − 8 = 9 Prebaciti 12 12 12 na drugu stranu znaka jednakosti.
− x x 2 − 8 = − 3 -x\sqrt{x^2-8}=-3 − x x 2 − 8 = − 3 Pomnožiti izraz sa − 1. -1. − 1.
x x 2 − 8 = 3 x\sqrt{x^2-8}=3 x x 2 − 8 = 3 Leva strana sadrži kvadratni koren, koji je uvek pozitivan, pa znak leve strane zavisi isključivo od znaka x . x. x . Kako desna strana jednačine uvek daje pozitivnu vrednost, leva strana mora biti pozitivna, što dovodi do dodatnog uslova:
Kvadrirati obe strane.
x 2 ( x 2 − 8 ) = 9 x^2(x^2-8)=9 x 2 ( x 2 − 8 ) = 9 Osloboditi se zagrada množenjem i prebaciti 9 9 9 na drugu stranu znaka jednakosti.
x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 x^4-8x^2-9=0 x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 Uvesti smenu x 2 = t . x^2=t. x 2 = t .
t 2 − 8 t − 9 = 0 t^2-8t-9=0 t 2 − 8 t − 9 = 0 Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c , gde su: a = 1 , a=1, a = 1 , b = − 8 b=-8 b = − 8 i c = − 9 c=-9 c = − 9
t 2 − 8 t − 9 = 0 t 1 , 2 = 8 ± ( − 8 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 9 ) 2 ⋅ 1 t 1 , 2 = 8 ± 64 + 36 2 t 1 , 2 = 8 ± 10 2 t 1 = − 1 ∨ t 2 = 9 t^2-8t-9=0 \\
t_{1,2}=\frac {8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot(-9)}} {2\cdot1} \\
t_{1,2}=\frac {8\pm\sqrt{64+36}} {2} \\
t_{1,2}=\frac {8\pm 10} {2} \\
t_1=-1 \quad \lor \quad t_2=9 t 2 − 8 t − 9 = 0 t 1 , 2 = 2 ⋅ 1 8 ± ( − 8 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 9 ) t 1 , 2 = 2 8 ± 64 + 36 t 1 , 2 = 2 8 ± 10 t 1 = − 1 ∨ t 2 = 9 Vratiti promenljivu x x x umesto t . t. t .
x 2 = − 1 ∨ x 2 = 9 x^2=-1 \quad\lor\quad x^2=9 x 2 = − 1 ∨ x 2 = 9 Jednačina x 2 = − 1 x^2=-1 x 2 = − 1 nema rešenje u skupu realnih brojeva, jer kvadrat bilo kog realnog broja uvek daje nenegativan rezultat.
Rešenje drugog slučaja je:
Rešenje x = − 3 x=-3 x = − 3 ne zadovoljava uslov x > 0. x>0. x > 0.
Proveriti da li x = 3 x=3 x = 3 može biti rešenje uvrštavanjem u jednačinu:
x 1 = 3 12 − 3 3 2 − 8 = 3 12 − 3 9 − 8 = 3 12 − 3 = 3 9 = 3 3 = 3 x 1 = 3 jeste re s ˇ enje x_1=3 \quad \sqrt{12-3\sqrt{3^2-8}}=3\\
\qquad\qquad \sqrt{12-3\sqrt{9-8}}=3 \\
\qquad\qquad \sqrt{12-3}=3 \\
\qquad\qquad \sqrt{9}=3 \\
\qquad\qquad 3=3 \\
x_1=3 \quad \text{jeste rešenje} \\ x 1 = 3 12 − 3 3 2 − 8 = 3 12 − 3 9 − 8 = 3 12 − 3 = 3 9 = 3 3 = 3 x 1 = 3 jeste re s ˇ enje