183.

Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→0+(1+tg⁡2x)12x\lim_{{x} \to {0^+}} (1+\tg^2{\sqrt{x}})^{\frac 1 {2x}}
REŠENJE ZADATKA

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

lim⁡x→0(1+1nesˇto)nesˇto=e\lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

lim⁡x→0+(1+11tg⁡2x)12x\lim_{{x} \to {0^+}} (1+\frac 1 {\frac 1 {\tg^2{\sqrt{x}}}})^{\frac 1 {2x}}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

lim⁡x→0+(1+11tg⁡2x)1tg⁡2x∗tg⁡2x∗12x\lim_{{x} \to {0^+}} (1+\frac 1 {\frac 1 {\tg^2{\sqrt{x}}}})^{\frac 1 {\tg^2{\sqrt{x}}}*\tg^2{\sqrt{x}}*\frac 1 {2x}}

Sada se može primeniti tablični limes: lim⁡x→0(1+1nesto)nesto=e \lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e

elim⁡x→0+tg⁡2x∗12x=elim⁡x→0+tg⁡2x2xe^{\lim_{{x} \to {0^+}} \tg^2{\sqrt{x}}*\frac 1 {2x}} = e^{\lim_{{x} \to {0^+}}\frac { \tg^2{\sqrt{x}}}{2x}}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\tg{x}=\frac {\sin{x}} {\cos{x}}

elim⁡x→0+(sin⁡xcos⁡x)22x=elim⁡x→0+sin⁡2xcos⁡2x2xe^{\lim_{{x} \to {0^+}}\frac {(\frac {\sin{\sqrt{x}}} {\cos{\sqrt{x}}} )^2}{2x}}= e^{\lim_{{x} \to {0^+}}\frac {\frac {\sin^2{\sqrt{x}}} {\cos^2{\sqrt{x}}}}{2x}}

Srediti dvojni razlomak:

elim⁡x→0+sin⁡2x2xcos⁡2xe^{\lim_{{x} \to {0^+}}{\frac {\sin^2{\sqrt{x}}} {2x\cos^2{\sqrt{x}}}}}

Grupisati činioce:

elim⁡x→0+12cos⁡2x∗sin⁡2xx=elim⁡x→0+12cos⁡2x∗lim⁡x→0+(sin⁡xx)2e^{\lim_{{x} \to {0^+}}{\frac 1 {2\cos^2{\sqrt{x}}}} *{\frac {\sin^2{\sqrt{x}}} x}} = e^{\lim_{{x} \to {0^+}}{\frac 1 {2\cos^2{\sqrt{x}}}} *{{\lim_{{x} \to {0^+}}{(\frac {\sin{\sqrt{x}}} {\sqrt{x}}})^2}}}

Primeniti tablični limes: lim⁡x→0cos⁡2x=1 \lim_{{x} \to {0}}\cos^2{x}=1

e12∗lim⁡x→0+(sin⁡xx)2e^{{\frac 1 2} *{{\lim_{{x} \to {0^+}}{(\frac {\sin{\sqrt{x}}} {\sqrt{x}}})^2}}}

Primeniti tablični limes: lim⁡x→0sin⁡xx=1 \lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1

e12∗12=e12=ee^{{\frac 1 2} *1^2}=e^{\frac 1 2}=\sqrt{e}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti