182.

Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1sin⁡x\lim_{{x} \to {0}} \bigg(\frac {1+\tg{x}} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}
REŠENJE ZADATKA

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

lim⁡x→1(1+1nesˇto)nesˇto=e\lim_{{x} \to {1}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Transformisati bazu dodavanjem jedinice kako bi poprimila oblik: 1+1nesˇto.1+\frac{1}{nešto}. Oduzeti dodatu jedinicu da bi izraz ostao matematički ekvivalentan.

lim⁡x→0(1+1+tg⁡x1+sin⁡x−1)1sin⁡x\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {1+\tg{x}} {1+\sin{x}}-1\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}

Srediti izraz u zagradi.

lim⁡x→0(1+1+tg⁡x−(1+sin⁡x)1+sin⁡x)1sin⁡x=lim⁡x→0(1+1+tg⁡x−1−sin⁡x1+sin⁡x)1sin⁡x=lim⁡x→0(1+tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x)1sin⁡x\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {1+\tg{x}-(1+\sin{x})} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}= \lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {1+\tg{x}-1-\sin{x}} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}= \lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {\tg{x}-\sin{x}} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

lim⁡x→0(1+11+sin⁡xtg⁡x−sin⁡x)1sin⁡x\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+{\frac 1 {\frac {1+\sin{x}} {\tg{x}-\sin{x}}}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

lim⁡x→0(1+11+sin⁡xtg⁡x−sin⁡x)1+sin⁡xtg⁡x−sin⁡x∗tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x∗1sin⁡x\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+{\frac 1 {\frac {1+\sin{x}} {\tg{x}-\sin{x}}}}\bigg)^{\frac {1+\sin{x}} {\tg{x}-\sin{x}}*\frac {\tg{x}-\sin{x}} {1+\sin{x}}*\frac 1 {\sin{x}}}

Sada se može primeniti tablični limes: lim⁡x→0(1+1nesto)nesto=e \lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e

elim⁡x→0tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x∗1sin⁡xe^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\tg{x}-\sin{x}} {1+\sin{x}}*\frac 1 {\sin{x}}}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\tg{x}=\frac {\sin{x}} {\cos{x}}

elim⁡x→0sin⁡xcos⁡x−sin⁡x(1+sin⁡x)sin⁡xe^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\frac {\sin{x}} {\cos{x}}-\sin{x}} {(1+\sin{x})\sin{x}}}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

elim⁡x→0sin⁡x(1cos⁡x−1)(1+sin⁡x)sin⁡x=elim⁡x→0sin⁡x(1cos⁡x−1)(1+sin⁡x)sin⁡x=elim⁡x→01cos⁡x−11+sin⁡xe^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x} (\frac 1 {\cos{x}}-1)} {(1+\sin{x})\sin{x}}} = e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\cancel{\sin{x}} (\frac 1 {\cos{x}}-1)} {(1+\sin{x})\cancel{\sin{x}}}}=e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac { \frac 1 {\cos{x}}-1} {1+\sin{x}}}

Srediti brojilac:

elim⁡x→01cos⁡x−cos⁡xcos⁡x1+sin⁡x=elim⁡x→01−cos⁡xcos⁡x1+sin⁡xe^{\lim_{{x} \to {0}}\frac { \frac 1 {\cos{x}}-\frac {\cos{x}} {\cos{x}}} {1+\sin{x}}}=e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac { \frac {1-\cos{x}} {\cos{x}}} {1+\sin{x}}}

Srediti dvojni razlomak:

elim⁡x→01−cos⁡xcos⁡x(1+sin⁡x)=elim⁡x→01−cos⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡xe^{\lim_{{x} \to {0}} \frac {1-\cos{x}} {\cos{x}(1+\sin{x})}} =e^{\lim_{{x} \to {0}} \frac {1-\cos{x}} {\cos{x}+\cos{x}\sin{x}}}

Zameniti x=0.x=0.

e1−cos⁡0cos⁡0+cos⁡0sin⁡0e^{ \frac {1-\cos{0}} {\cos{0}+\cos{0}\sin{0}}}

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija:

e1−11+1∗0=e01=e0=1e^{ \frac {1-1} {1+1*0}} = e^{\frac 0 1}=e^0=1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti