Podeli

181.
Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {1}} (1+\sin{\pi}x)^{\ctg{\pi}x}

REŠENJE ZADATKA

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {1}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

\lim_{{x} \to {1}} (1+\frac 1 {\frac 1 {\sin{\pi}x}})^{\ctg{\pi}x}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {1}} (1+\frac 1 {\frac 1 {\sin{\pi}x}})^{\frac 1 {\sin{\pi}x}*\sin{\pi}x*\ctg{\pi}x}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^{\lim_{{x} \to {1}} \sin{\pi}x*\ctg{\pi}x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {1}} (1+\frac 1 {\frac 1 {\sin{\pi}x}})^{\frac 1 {\sin{\pi}x}}=e

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\ctg{x}=\frac {\cos{x}} {\sin{x}}$

e^{\lim_{{x} \to {1}} \sin{\pi}x*\frac {\cos{\pi}{x}} {\sin{\pi{x}}}} = e^{\lim_{{x} \to {1}} \cancel{\sin{\pi}x}*\frac {\cos{\pi}{x}} {\cancel{\sin{\pi{x}}}}}= e^{\lim_{{x} \to {1}} {\cos{\pi}{x}}}

Zameniti $x=1.$

e^{\cos{\pi}}

Uvrstiti vrednost trigonometrijske funkcije:

e^{-1}=\frac 1 e

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos{\pi}=-1

181.Eksponencijalni limes

181.
Eksponencijalni limes