Podeli

180.
Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}} (1+x^2)^{\ctg^2{x}}

REŠENJE ZADATKA

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka..

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac 1 {\frac 1 {x^2}}\bigg)^{\ctg^2{x}}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac 1 {\frac 1 {x^2}}\bigg)^{\frac 1 {x^2}*x^2*\ctg^2{x}}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^{\lim_{{x} \to {0}}x^2*\ctg^2{x}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac 1 {\frac 1 {x^2}}\bigg)^{\frac 1 {x^2}}=e

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\ctg{x}=\frac {\cos{x}} {\sin{x}}$

e^{\lim_{{x} \to {0}}x^2\big(\frac {\cos{x}} {\sin{x}}\big)^2} = e^{\lim_{{x} \to {0}}x^2*\frac {\cos^2{x}} {\sin^2{x}}}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\cos^2{x}=1$

e^{\lim_{{x} \to {0}}\cos^2x* {\lim_{{x} \to {0}}}\frac {x^2} {\sin^2{x}}}= e^ {\lim_{{x} \to {0}}\frac {x^2} {\sin^2{x}}}

Pokušati zameniti $x=0$ i konstatovati neodređenost $\frac{0}{0}.$

\frac {0^2} {\sin^20}=\frac 0 0

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

e^ {\lim_{{x} \to {0}}\big(\frac x {\sin{x}}\big)^2}=e^1

180.Eksponencijalni limes

180.
Eksponencijalni limes