Podeli

179.
Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {1}} \bigg(\frac {2x+1} {x+2}\bigg) ^{\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}}

REŠENJE ZADATKA

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {1}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Transformisati bazu dodavanjem jedinice kako bi poprimila oblik: $1+\frac{1}{nešto}.$ Oduzeti dodatu jedinicu da bi izraz ostao matematički ekvivalentan.

\lim_{{x} \to {1}} \bigg(1+\frac {2x+1} {x+2}-1\bigg) ^{\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}}

Srediti izraz u zagradi.

\lim_{{x} \to {1}} \bigg(1+\frac {2x+1-(x+2)} {x+2}\bigg) ^{\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}}=\lim_{{x} \to {1}} \bigg(1+\frac {2x+1-x-2} {x+2}\bigg) ^{\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}} =\lim_{{x} \to {1}} \bigg(1+\frac {x-1} {x+2}\bigg) ^{\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}}

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

\lim_{{x} \to {1}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x+2}{x-1}}\bigg) ^{\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {1}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x+2}{x-1}}\bigg) ^{\frac {x+2}{x-1} * \frac {x-1}{x+2}*\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^ {\frac {x-1}{x+2}*\frac {x+1} {x^3-5x^2+8x-4}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {1}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x+2}{x-1}}\bigg) ^{\frac {x+2}{x-1}}=e

Rastaviti izraz u stepenu:

e^ {\lim_{{x} \to {1}}\frac {x-1}{x+2}*\frac {x+1} {(x-1)(x^2-4x+4)}}

Srediti izraz u stepenu:

e^ {\lim_{{x} \to {1}}\frac {x+1} {(x+2)(x^2-4x+4)}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

e^ {\lim_{{x} \to {1}}\frac {\cancel{x-1}}{x+2}*\frac {x+1} {\cancel{(x-1)}(x^2-4x+4)}}

e^ {\lim_{{x} \to {1}}\frac 1 {x+2}*\frac {x+1} {x^2-4x+4}}

Odrediti graničnu vrednost u eksponentu.

e^ {\frac {1+1} {(1+2)(1^2-4*1+4)}}=e^ {\frac 2 3}

179.Eksponencijalni limes

179.
Eksponencijalni limes