175.

Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→∞(3x−43x+2)x+13\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {3x-4} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3}
REŠENJE ZADATKA

Dobija se neodređeni izraz oblika: 1∞.1^{\infin}.

lim⁡x→∞(3x−43x+2)x+13=lim⁡x→∞(3xx−4x3xx+2x)x+13=lim⁡x→∞(3−4x3+2x)x+13=1∞\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {3x-4} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {\frac {3x} x-\frac 4 x} {\frac {3x} x+\frac 2 x}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {3-\cancel{\frac 4 x}} {3+\cancel{\frac 2 x}}\bigg)^{\frac {x+1} 3}= 1^\infty

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

lim⁡x→∞(1+1nesˇto)nesˇto=e\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Transformisati bazu dodavanjem jedinice kako bi poprimila oblik: 1+1nesˇto.1+\frac{1}{nešto}. Oduzeti dodatu jedinicu da bi izraz ostao matematički ekvivalentan.

lim⁡x→∞(1+3x−43x+2−1)x+13\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {3x-4} {3x+2}-1\bigg)^{\frac {x+1} 3}

Srediti izraz u zagradi.

lim⁡x→∞(1+3x−4−(3x+2)3x+2)x+13=lim⁡x→∞(1+3x−4−3x−2)3x+2)x+13=lim⁡x→∞(1+−63x+2)x+13\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {3x-4-(3x+2)} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {3x-4-3x-2)} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {-6} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3}

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

lim⁡x→∞(1+13x+2−6)x+13\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {x+1} 3}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

lim⁡x→∞(1+13x+2−6)3x+2−6∗−63x+2∗x+13=lim⁡x→∞(1+13x+2−6)3x+2−6∗−63x+2∗x+13=lim⁡x→∞(1+13x+2−6)3x+2−6∗−2x−23x+2\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {3x+2} {-6}* \frac {-6} {3x+2}* \frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {3x+2} {-6}* \frac {\cancel{-6}} {3x+2}* \frac {x+1} {\cancel{3}}} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {3x+2} {-6}* \frac {-2x-2} {3x+2}}

Sada se može primeniti tablični limes: lim⁡x→∞(1+1nesto)nesto=e \lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e

elim⁡x→∞−2x−23x+2e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{-2x-2}{3x+2}}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Odrediti graničnu vrednost u eksponentu.

elim⁡x→∞−2xx−2x3xx+2x=elim⁡x→∞−2−2x3+2x=e−23e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{\frac{-2x} x -\frac 2 x}{\frac {3x} x+\frac 2 x}} = e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{-2-\cancel{\frac 2 x}}{3+\cancel{\frac 2 x}}} = e^{-\frac 2 3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti