Podeli

131.
Eksponencijalni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=(\arctg{x})^x

REŠENJE ZADATKA

Da bi traženje izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane jednačine:

\ln{y}=\ln{(\arctg{x})^x}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=x*\ln{\arctg{x}}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x:$

(\ln{y})'=(x*\ln{\arctg{x}})'

Računanjem izvoda dobija se:

\frac{1}{y}*y'=\ln{\arctg{x}}+\frac{x}{\arctg{x}}*\frac{1}{1+x^2}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y})'=\frac{1}{y}*y'

Prvi izvod desne strane određuje se pravilom za izvod proizvoda:

(x*\ln{\arctg{x}})'=x'*\ln{\arctg{x}}+x*(\ln{\arctg{x}})'

Prvi izvod funkcije $\ln{\arctg{x}}$ određuje se primenom pravila za izvod složene funkcije:

(x*\ln{\arctg{x}})'=1*\ln{\arctg{x}}+x*\frac{1}{\arctg{x}}*(\arctg{x})'

Sređuje se izraz:

(x*\ln{\arctg{x}})'=\ln{\arctg{x}}+\frac{x}{\arctg{x}}*\frac{1}{1+x^2}

Kako bi se izolovalo traženo $y'$ obe strane jednačine množe se sa $y:$

y'=y*(\ln{\arctg{x}}+\frac{x}{(1+x^2)\arctg{x}})

Zamenjuje se $y$ iz originalne jednačine:

y'=(\arctg{x})^x*(\ln{\arctg{x}}+\frac{x}{(1+x^2)\arctg{x}})

131.Eksponencijalni izvod