Podeli

130.
Eksponencijalni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=(1+\frac{1}{x})^x

REŠENJE ZADATKA

Da bi traženje izvoda bilo jednostavnije uzima se prirodni logaritam obe strane jednačine:

\ln{y}=\ln{(1+\frac{1}{x})^x}

Primenjuje se svojstvo logaritma definisano formulom: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=x*\ln({x+\frac{1}{x})}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x:$

(\ln{y})'=(x*\ln({x+\frac{1}{x})})'

Računanjem izvoda se dobija:

\frac{1}{y}*y'=\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y})'=\frac{1}{y}*y'

Prvi izvod desne strane određuje se pravilom za izvod proizvoda:

(x*\ln{(1+\frac{1}{x})})'=x'*\ln{(1+\frac{1}{x})}+x*(\ln{(1+\frac{1}{x})})'

Prvi izvod funkcije $\ln{(1+\frac{1}{x})}$ određuje se primenom pravila za složeni izvod:

(x*\ln{(1+\frac{1}{x})})'=1*\ln{(1+\frac{1}{x})}+x*\frac{1}{1+\frac{1}{x}}*(1+\frac{1}{x})'

Sređuje se izraz:

(x*\ln{(1+\frac{1}{x})})'=1*\ln{(1+\frac{1}{x})}+\frac{x}{\frac{x+1}{x}}*(0-\frac{1}{x^2})

1*\ln{(1+\frac{1}{x})}+\frac{x}{\frac{x+1}{x}}*(0-\frac{1}{x^2})=\ln{(1+\frac{1}{x})}+\frac{\cancel{x^2}}{x+1}*(-\frac{1}{\cancel{x^2}})=\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1}

Kako bi se izolovalo traženo $y'$ obe strane jednačine množe se sa $y:$

y'=y*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=(1+\frac{1}{x})^x$

y'=(1+\frac{1}{x})^x*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=(1+\frac{1}{x})^x$

y'=(1+\frac{1}{x})^x*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

130.Eksponencijalni izvod