Podeli

128.
Eksponencijalni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=x^x

REŠENJE ZADATKA

Da bi traženje izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y}=\ln{x^x}

Primenjuje se svojstvo logaritma definisano formulom: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=x*\ln{x}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane u odnosu na $x:$

(\ln{y})'=(x*\ln{x})'

Računanjem izvoda dobija se:

\frac{1}{y}*y'=1*\ln{x}+ x*\frac{1}{x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y})'=\frac{1}{y}*y'

Prvi izvod desne strane određuje se pravilom za izvod proizvoda:

(x*\ln{x})=x'*\ln{x}+\cancel{x}*\frac{1}{\cancel{x}}=\ln{x}+1

Kako bi se izolovalo traženo $y',$ obe strane jednačine množe se sa $y:$

y'=y*(\ln{x}+1)

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=x^x$

y'=x^x*(\ln{x}+1)

128.Eksponencijalni izvod