Podeli

132.
Eksponencijalni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=(\tg{x})^{\ctg{\frac{x}{2}}}

REŠENJE ZADATKA

Da bi traženje izvoda bilo lakše, uzima se prvi izvod obe strane jednačine:

\ln{y}=\ln{\tg{x}^{\ctg{\frac{x}{2}}}}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=(\ctg{\frac{x}{2}})*(\ln{\tg{x})}

Potrebno je izračunati prvi izvod obe strane:

(\ln{y})'=((\ctg{\frac{x}{2}})*(\ln{\tg{x}}))'

Računanjem izvoda dobija se:

\frac{1}{y}* y' = -\frac{\ln{\tg{x}}}{2\sin^2{x}}+\frac{\ctg{\frac{x}{2}}}{\tg{x}}*\frac{1}{\cos^2{x}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y})'=\frac{1}{y}*y'

Izvod desne strane određuje se primenom pravila za izvod proizvoda

((\ctg{\frac{x}{2}})*(\ln{\tg{x}}))'=(\ctg{\frac{x}{2}})'*(\ln{\tg{x}})+(\ctg{\frac{x}{2}})*(\ln{\tg{x}})'

Izvodi funkcija $\ctg{\frac{x}{2}}$ i $\ln{\tg{x}}$ određuju se primenom pravila za izvod složene funkcije:

((\ctg{\frac{x}{2}})*(\ln{\tg{x}}))'=-\frac{1}{\sin^2{x}}*(\frac{x}{2})'*(\ln{\tg{x}})+(\ctg{\frac{x}{2}})*\frac{1}{\tg{x}}*(\tg{x})'

Sređuje se izraz:

((\ctg{\frac{x}{2}})*(\ln{\tg{x}}))'=-\frac{\ln{\tg{x}}}{2\sin^2{x}}+\frac{\ctg{\frac{x}{2}}}{\tg{x}}*\frac{1}{\cos^2{x}}

Kako bi se izolovalo traženo $y',$ obe strane jednačine se množe sa $y:$

y' = y*(-\frac{\ln{\tg{x}}}{2\sin^2{x}}+\frac{\ctg{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin{x}}{\cancel{\cos{x}}}}*\frac{1}{\cancel{\cos^2{x}}})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije:

y' = (\tg{x})^{\ctg{\frac{x}{2}}}*(-\frac{\ln{\tg{x}}}{2\sin^2{x}}+\frac{\ctg{\frac{x}{2}}}{\sin{x}\cos{x}})

132.Eksponencijalni izvod