2038. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Zapisujemo sve stepene sa osnovom 2 i 3. Primetimo da je $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} .$

2^{2x} - 3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x+\frac{1}{2}} - 2^{2x-1}

Grupišemo članove sa osnovom 2 na levu stranu, a članove sa osnovom 3 na desnu stranu jednačine.

2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{x+\frac{1}{2}} + 3^{x-\frac{1}{2}}

Izvlačimo zajednički faktor za svaku stranu. Na levoj strani to je $2^{2x-1} ,$ a na desnoj $3^{x-\frac{1}{2}} .$

2^{2x-1}(2^1 + 1) = 3^{x-\frac{1}{2}}(3^1 + 1)

Računamo vrednosti u zagradama.

2^{2x-1} \cdot 3 = 3^{x-\frac{1}{2}} \cdot 4

Delimo obe strane jednačine sa $3 \cdot 4$ kako bismo razdvojili osnove.

\frac{2^{2x-1}}{4} = \frac{3^{x-\frac{1}{2}}}{3}

Zapisujemo imenioce kao stepene osnova 2 i 3: $4 = 2^2$ i $3 = 3^1 .$

\frac{2^{2x-1}}{2^2} = \frac{3^{x-\frac{1}{2}}}{3^1}

Primenjujemo pravilo za deljenje stepena istih osnova: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .$

2^{2x-1-2} = 3^{x-\frac{1}{2}-1}

Sređujemo izložioce.

2^{2x-3} = 3^{x-\frac{3}{2}}

Primećujemo da je izložilac na levoj strani dvostruko veći od izložioca na desnoj strani. Zapisujemo $2x-3$ kao $2(x-\frac{3}{2}) .$

2^{2(x-\frac{3}{2})} = 3^{x-\frac{3}{2}}

Primenjujemo pravilo za stepenovanje stepena: $a^{m \cdot n} = (a^m)^n .$

(2^2)^{x-\frac{3}{2}} = 3^{x-\frac{3}{2}}

Računamo osnovu na levoj strani.

4^{x-\frac{3}{2}} = 3^{x-\frac{3}{2}}

Delimo obe strane jednačine sa $3^{x-\frac{3}{2}}$ (što je uvek veće od nule).

\left(\frac{4}{3}\right)^{x-\frac{3}{2}} = 1

Bilo koji broj različit od nule stepenovan nulom daje 1, pa možemo zapisati $1 = \left(\frac{4}{3}\right)^0 .$

\left(\frac{4}{3}\right)^{x-\frac{3}{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^0

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce.

x - \frac{3}{2} = 0

Rešavamo linearnu jednačinu po $x .$

x = \frac{3}{2}

2038.Eksponencijalne jednačine i nejednačine