2039.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3⋅4x+13⋅9x+2=6⋅4x+1−12⋅9x+13 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravilo za stepenovanje am+n=am⋅an a^{m+n} = a^m \cdot a^n kako bismo razdvojili stepene:

3⋅4x+13⋅9x⋅92=6⋅4x⋅41−12⋅9x⋅913 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 9^2 = 6 \cdot 4^x \cdot 4^1 - \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9^1

Računamo vrednosti stepena:

3⋅4x+13⋅81⋅9x=24⋅4x−92⋅9x3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x

Sređujemo izraz množenjem:

3⋅4x+27⋅9x=24⋅4x−92⋅9x3 \cdot 4^x + 27 \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x

Grupišemo članove sa osnovom 9 9 na levu stranu, a članove sa osnovom 4 4 na desnu stranu:

27⋅9x+92⋅9x=24⋅4x−3⋅4x27 \cdot 9^x + \frac{9}{2} \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - 3 \cdot 4^x

Izvlačimo zajedničke faktore 9x 9^x i 4x 4^x ispred zagrade:

9x(27+92)=4x(24−3)9^x \left(27 + \frac{9}{2}\right) = 4^x (24 - 3)

Sabiramo i oduzimamo brojeve u zagradama:

9x⋅632=21⋅4x9^x \cdot \frac{63}{2} = 21 \cdot 4^x

Delimo celu jednačinu sa 21⋅9x 21 \cdot 9^x kako bismo razdvojili promenljive od konstanti:

632⋅21=4x9x\frac{63}{2 \cdot 21} = \frac{4^x}{9^x}

Skraćujemo razlomak na levoj strani i primenjujemo pravilo axbx=(ab)x \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x na desnoj strani:

32=(49)x\frac{3}{2} = \left(\frac{4}{9}\right)^x

Zapisujemo razlomak 49 \frac{4}{9} kao stepen sa osnovom 23: \frac{2}{3} :

32=((23)2)x\frac{3}{2} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x

Primenjujemo pravilo (am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n} i zapisujemo 32 \frac{3}{2} kao (23)−1: \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} :

(23)−1=(23)2x\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2x}

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce:

−1=2x-1 = 2x

Rešavamo jednačinu po x: x :

x=−12x = -\frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti