741.

Algebarski oblik

TEKST ZADATKA

Izračunati

3+4i\sqrt{3+4i}
REŠENJE ZADATKA

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je 3+4i=x+iy,\sqrt{3+4i}=x+iy, gde su xx i yy realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

3+4i=x+iy3+4i=(x+iy)23+4i=x2+2xyi+i2y2\sqrt{3+4i}=x+iy \\ 3+4i=(x+iy)^2 \\ 3+4i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je i2=−1i^2=-1 dobija se:

3+4i=x2−y2+2xyi3+4i=x^2-y^2+2xyi

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x2−y2=32xy=4x^2-y^2=3 \\ 2xy=4
DODATNO OBJAŠNJENJE

Iz druge jednačine izraziti y.y.

2xy=4  ⟹  y=2x2xy=4 \implies y=\frac{2}{x}

Uvrstiti y=2xy=\frac{2}{x} u prvu jednačinu.

x2−(2x)2=3x2−4x2=3x4−4=3x2x4−3x2−4=0x^2-\Big(\frac{2}{x}\Big)^2=3 \\ x^2-\frac{4}{x^2}=3 \\ x^4-4=3x^2 \\ x^4-3x^2-4=0

Uvesti smenu t=x2.t=x^2.

t2−3t−4=0t1,2=3±9+162=3±52t1=4∨t2=−1t^2-3t-4=0 \\ t_{1, 2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}\\ t_1=4 \quad \lor \quad t_2=-1

Kako je t=x2t=x^2 ne može biti negativno, rešenje t2=−1t_2=-1 se odbacuje.

Za t1=4t_1=4 rešenja za xx su:

x1=2∨x2=−2x_1=2 \quad \lor \quad x_2=-2

Rešenja za yy su:

y1=22=1y2=2−2=−1y_1=\frac{2}{2}=1 \\ y_2=\frac{2}{-2}=-1

Za x1=2x_1=2 i y1=1y_1=1 rešenje je:

3+4i=2+i\sqrt{3+4i}=2+i

Za x2=−2x_2=-2 i y2=−1y_2=-1 rešenje je:

3+4i=−2−i\sqrt{3+4i}=-2-i

Dva moguća rešenja su:

2+i,−2−i2+i, \quad-2-i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti