3512.

212.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 2+1 \sqrt{2} + 1 ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je dati broj racionalan. Neka je on jednak nekom racionalnom broju r. r .

2+1=r,r∈Q\sqrt{2} + 1 = r, \quad r \in \mathbb{Q}

Izrazimo 2 \sqrt{2} iz ove jednačine tako što ćemo prebaciti 1 1 na desnu stranu jednakosti.

2=r−1\sqrt{2} = r - 1

Analizirajmo desnu stranu jednakosti. Kako je r r racionalan broj, a 1 1 je takođe racionalan broj, njihova razlika mora biti racionalan broj.

r−1∈Qr - 1 \in \mathbb{Q}

Sa leve strane jednakosti nalazi se broj 2, \sqrt{2} , za koji je poznato da je iracionalan broj.

2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}

Iz ovoga sledi da je iracionalan broj jednak racionalnom broju, što predstavlja očiglednu protivrečnost.

2≠r−1\sqrt{2} \neq r - 1

Pošto nas je pretpostavka da je broj racionalan dovela do protivrečnosti, zaključujemo da je početna pretpostavka netačna i da je dati broj iracionalan.

2+1∉Q\sqrt{2} + 1 \notin \mathbb{Q}