Trigonometrijski limes: x kvadrat − 4 kroz kosinus

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {2}} \frac {x^2-4} {\cos{\frac {\pi} 4}x}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za razliku kvadrata:

\lim_{{x} \to {2}} \frac {(x-2)(x+2)} {\cos{\frac {\pi} 4}x}

Uvesti smenu:

x-2=u \implies x=u+2

Uvrstiti smenu u izraz:

\lim_{{u} \to {0}} \frac {u(u+2+2)} {\cos{\frac {\pi} 4}(u+2)}

Srediti brojilac i imenilac:

\lim_{{u} \to {0}} \frac {u(u+4)} {\cos({\frac {\pi} 4}*u+{\frac {\pi} 4}*2)}=\lim_{{u} \to {0}} \frac {u(u+4)} {\cos({\frac {\pi} 4}u+{\frac {\pi} 2})}

Primeniti adicionu formulu za kosinus zbira: $\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

\lim_{{u} \to {0}} \frac {u(u+4)} {\cos{\frac {\pi} 4u}\cos{\frac {\pi} 2}-\sin{\frac {\pi} 4u}\sin{\frac {\pi} 2}}

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija:

\lim_{{u} \to {0}} \frac {u(u+4)} {{\cos{\frac {\pi} 4u}}*0-\sin{\frac {\pi} 4u}*1}=\lim_{{u} \to {0}} \frac {u(u+4)} {-\sin{\frac {\pi} 4u}}

Raščlaniti izraz:

\lim_{{u} \to {0}} (u+4)*\lim_{{u} \to {0}} \frac {u} {-\sin{\frac {\pi} 4u}}

Dodati razlomak iz sinusa u brojilac, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{u} \to {0}} (u+4)*\lim_{{u} \to {0}} \frac {u*\frac {\pi} 4*\frac 4 {\pi}} {-\sin{\frac {\pi} 4u}}

Zameniti $u=0.$

\lim_{{u} \to {0}} (0+4)*\lim_{{u} \to {0}} \frac {u*\frac {\pi} 4*\frac 4 {\pi}} {-\sin{\frac {\pi} 4u}}=4*\lim_{{u} \to {0}} \frac {u*\frac {\pi} 4*\frac 4 {\pi}} {-\sin{\frac {\pi} 4u}}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

4*\bigg(-\frac 4 {\pi}\bigg)=-\frac {16} {\pi}

6. Trigonometrijski limes