Podeli

810.
Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\bigg(1-\frac{\sqrt3-i}2\bigg)^{24}

REŠENJE ZADATKA

Srediti izraz u zagradi.

\bigg(\frac{2-\sqrt3+i}2\bigg)^{24} \\ \bigg(\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i\bigg)^{24}

Odrediti trigonometrijski oblik kompleksnog broja $\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i$ po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i=\sqrt{2-\sqrt3}\big(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\big)

DODATNO OBJAŠNJENJE

Odrediti moduo broja $\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i|=\sqrt{\bigg(\frac{2-\sqrt3}2\bigg)^2+\bigg(\frac12\bigg)^2}=\sqrt{2-\sqrt3}

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = \bigg|\frac{\frac12}{\frac{2-\sqrt3}2}\bigg|= \bigg|\frac{1}{2-\sqrt{3}}\bigg|= \bigg|\frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \bigg|=2+\sqrt3 \implies \varphi=\frac{5\pi}{12}

Pošto su $x>0$ i $y>0$ kompleksni broj $\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i$ se nalazi u prvom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\varphi.$

\text{arg}\big(\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i\big)=\frac{5\pi}{12}

Uvrstiti trigonometrijski oblik kompleksnog broja u početni izraz.

\bigg(\sqrt{2-\sqrt3}\big(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\big)\bigg)^{24}

Primeniti formulu za izračunavanje stepena kompleksnog broja: $\big(r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\big)^n=r^n(\cos(n\cdot\alpha)+i\sin(n\cdot\alpha))$

(\sqrt{2-\sqrt3})^{24}\cdot\big(\cos(24\cdot\frac{5\pi}{12})+i\sin(24\cdot\frac{5\pi}{12})\big) \\ (2-\sqrt3)^{12}\cdot\big(\cos10\pi+i\sin10\pi\big)

Svesti uglove na prvi kvadrant.

(2-\sqrt3)^{12}\cdot\big(\cos0+i\sin0\big)

Zapisati kompleksni broj u algebarskom obliku.

(2-\sqrt3)^{12}\cdot1 \\ (2-\sqrt3)^{12}

810.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik