Stepen kompleksnog broja: (1 - (√3 - i)/2) na 24

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\bigg(1-\frac{\sqrt3-i}2\bigg)^{24}

REŠENJE ZADATKA

Srediti izraz u zagradi.

\bigg(\frac{2-\sqrt3+i}2\bigg)^{24} \\ \bigg(\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i\bigg)^{24}

Odrediti trigonometrijski oblik kompleksnog broja $\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i$ po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

\frac{2-\sqrt3}2+\frac12i=\sqrt{2-\sqrt3}\big(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\big)

Uvrstiti trigonometrijski oblik kompleksnog broja u početni izraz.

\bigg(\sqrt{2-\sqrt3}\big(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\big)\bigg)^{24}

Primeniti formulu za izračunavanje stepena kompleksnog broja: $\big(r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\big)^n=r^n(\cos(n\cdot\alpha)+i\sin(n\cdot\alpha))$

(\sqrt{2-\sqrt3})^{24}\cdot\big(\cos(24\cdot\frac{5\pi}{12})+i\sin(24\cdot\frac{5\pi}{12})\big) \\ (2-\sqrt3)^{12}\cdot\big(\cos10\pi+i\sin10\pi\big)

Svesti uglove na prvi kvadrant.

(2-\sqrt3)^{12}\cdot\big(\cos0+i\sin0\big)

Zapisati kompleksni broj u algebarskom obliku.

(2-\sqrt3)^{12}\cdot1 \\ (2-\sqrt3)^{12}

$\big(1-\frac{\sqrt3-i}2\big)^{24}$