2605.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

2sin⁡2(π4+x2)−12 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) - 1
REŠENJE ZADATKA

Polazeći od formule za polovinu ugla ∣sin⁡α2∣=1−cos⁡α2, \left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} , kvadriranjem i množenjem sa 2 dobijamo vezu 2sin⁡2α2=1−cos⁡α. 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha . U našem zadatku je α2=π4+x2, \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} , pa računamo ugao α: \alpha :

α=2(π4+x2)=π2+x\alpha = 2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + x

Primenjujemo ovu formulu na dati izraz zamenom 2sin⁡2(π4+x2) 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) sa 1−cos⁡(π2+x): 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) :

2sin⁡2(π4+x2)−1=(1−cos⁡(π2+x))−12 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) - 1 = \left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right) - 1

Oduzimanjem jedinica izraz se uprošćava:

1−cos⁡(π2+x)−1=−cos⁡(π2+x)1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - 1 = - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)

Koristeći trigonometrijsku vezu za svođenje na prvi kvadrant cos⁡(π2+x)=−sin⁡x, \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x , dobijamo konačan rezultat:

−(−sin⁡x)=sin⁡x- (-\sin x) = \sin x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti