2596. Trigonometrijske funkcije poluugla

Koristićemo formulu za tangens polovine ugla:

\left| \text{tg} \frac{\pi}{8} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}}}

Definišemo apsolutnu vrednost za tangens:

\left| \text{tg} \frac{\pi}{8} \right| = \begin{cases} \text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Pošto je ugao $\frac{\pi}{8}$ u prvom kvadrantu, njegova vrednost tangensa je pozitivna. Oslobađamo se apsolutne vrednosti i zamenjujemo $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

\text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

Sređujemo izraz pod korenom.

\text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}

Racionališemo imenilac pod korenom množenjem sa $2 - \sqrt{2} .$

\text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{4 - 2}}

Računamo koren. Pošto je $2 - \sqrt{2} > 0 ,$ koren iz kvadrata je sam taj izraz.

\text{tg} \frac{\pi}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

Delimo svaki član brojioca sa imeniocem.

\text{tg} \frac{\pi}{8} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1

Sada računamo vrednost za kotangens. Znamo da je kotangens recipročna vrednost tangensa.

\text{ctg} \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

Racionališemo imenilac množenjem sa $\sqrt{2} + 1 .$

\text{ctg} \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz.

\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8} = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)

Sređujemo izraz i dobijamo konačan rezultat.

\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2

Ovim je dokaz završen.

\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8} = 2

742.b