2596.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati da je: ctgπ8−tgπ8=2. \text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8} = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Koristićemo formulu za tangens polovine ugla:

∣tgπ8∣=1−cos⁡π41+cos⁡π4\left| \text{tg} \frac{\pi}{8} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}}}

Definišemo apsolutnu vrednost za tangens:

∣tgπ8∣={tgπ8,za tgπ8≥0−tgπ8,za tgπ8<0\left| \text{tg} \frac{\pi}{8} \right| = \begin{cases} \text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\pi}{8}, & \text{za } \text{tg} \frac{\pi}{8} < 0 \end{cases}

Pošto je ugao π8 \frac{\pi}{8} u prvom kvadrantu, njegova vrednost tangensa je pozitivna. Oslobađamo se apsolutne vrednosti i zamenjujemo cos⁡π4=22. \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

tgπ8=1−221+22\text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

Sređujemo izraz pod korenom.

tgπ8=2−222+22=2−22+2\text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}

Racionališemo imenilac pod korenom množenjem sa 2−2. 2 - \sqrt{2} .

tgπ8=2−22+2⋅2−22−2=(2−2)24−2\text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{4 - 2}}

Računamo koren. Pošto je 2−2>0, 2 - \sqrt{2} > 0 , koren iz kvadrata je sam taj izraz.

tgπ8=2−22\text{tg} \frac{\pi}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

Delimo svaki član brojioca sa imeniocem.

tgπ8=22−22=2−1\text{tg} \frac{\pi}{8} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1

Sada računamo vrednost za kotangens. Znamo da je kotangens recipročna vrednost tangensa.

ctgπ8=1tgπ8=12−1\text{ctg} \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

Racionališemo imenilac množenjem sa 2+1. \sqrt{2} + 1 .

ctgπ8=12−1⋅2+12+1=2+12−1=2+1\text{ctg} \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz.

ctgπ8−tgπ8=(2+1)−(2−1)\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8} = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)

Sređujemo izraz i dobijamo konačan rezultat.

ctgπ8−tgπ8=2+1−2+1=2\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2

Ovim je dokaz završen.

ctgπ8−tgπ8=2\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8} = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti