Tangens poluugla: tg(π/4 + α/2)(1 − sin α)/cos α = 1

Polazimo od leve strane identiteta. Prvo ćemo primeniti adicionu formulu za tangens na prvi faktor: $\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} x + \text{tg} y}{1 - \text{tg} x \text{tg} y} .$

\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{tg} \frac{\pi}{4} + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\pi}{4} \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Kako je $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 ,$ izraz se pojednostavljuje:

\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Sada transformišemo drugi faktor. Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ i formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla:

\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}, \quad \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo ove izraze u drugi faktor:

\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu i razliku kvadrata u imeniocu:

\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)}

Skraćujemo razlomak sa $\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} :$

\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}}

Delimo i brojilac i imenilac sa $\cos \frac{\alpha}{2}$ kako bismo izrazili razlomak preko tangensa:

\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1 + \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}} = \frac{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Sada množimo dobijene izraze za prvi i drugi faktor kako bismo dokazali početni identitet:

\frac{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}} = 1

Svi faktori se skraćuju, čime je identitet uspešno dokazan.

1 = 1

Započni učenje

Online časovi

743.a

Beleške