2591.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

tg(π4+α2)1−sin⁡αcos⁡α=1\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = 1
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Prvo ćemo primeniti adicionu formulu za tangens na prvi faktor: tg(x+y)=tgx+tgy1−tgxtgy. \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} x + \text{tg} y}{1 - \text{tg} x \text{tg} y} .

tg(π4+α2)=tgπ4+tgα21−tgπ4tgα2\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{tg} \frac{\pi}{4} + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\pi}{4} \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Kako je tgπ4=1, \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 , izraz se pojednostavljuje:

tg(π4+α2)=1+tgα21−tgα2\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Sada transformišemo drugi faktor. Koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1=sin⁡2α2+cos⁡2α2 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} i formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla:

sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2,cos⁡α=cos⁡2α2−sin⁡2α2\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}, \quad \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo ove izraze u drugi faktor:

1−sin⁡αcos⁡α=cos⁡2α2+sin⁡2α2−2sin⁡α2cos⁡α2cos⁡2α2−sin⁡2α2\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu i razliku kvadrata u imeniocu:

1−sin⁡αcos⁡α=(cos⁡α2−sin⁡α2)2(cos⁡α2−sin⁡α2)(cos⁡α2+sin⁡α2)\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)}

Skraćujemo razlomak sa cos⁡α2−sin⁡α2: \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} :

1−sin⁡αcos⁡α=cos⁡α2−sin⁡α2cos⁡α2+sin⁡α2\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}}

Delimo i brojilac i imenilac sa cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} kako bismo izrazili razlomak preko tangensa:

1−sin⁡αcos⁡α=1−sin⁡α2cos⁡α21+sin⁡α2cos⁡α2=1−tgα21+tgα2\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1 + \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}} = \frac{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Sada množimo dobijene izraze za prvi i drugi faktor kako bismo dokazali početni identitet:

1+tgα21−tgα2⋅1−tgα21+tgα2=1\frac{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}} = 1

Svi faktori se skraćuju, čime je identitet uspešno dokazan.

1=11 = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti