2589.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: tg(π4−α2)(1+sin⁡α)sin⁡α=ctgα \frac{\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) (1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Prvo ćemo uprostiti izraz tg(π4−α2) \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) primenom adicione formule za tangens razlike:

tg(π4−α2)=tgπ4−tgα21+tgπ4tgα2\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{tg} \frac{\pi}{4} - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\pi}{4} \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Zamenjujemo poznatu vrednost tgπ4=1: \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 :

1−tgα21+tgα2\frac{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}}

Zapisujemo tangens preko sinusa i kosinusa, tgα2=sin⁡α2cos⁡α2: \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} :

1−sin⁡α2cos⁡α21+sin⁡α2cos⁡α2\frac{1 - \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1 + \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}

Svodimo na zajednički imenilac izraze u brojiocu i imeniocu:

cos⁡α2−sin⁡α2cos⁡α2cos⁡α2+sin⁡α2cos⁡α2\frac{\frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}

Skraćujemo imenioce u dvojnom razlomku:

cos⁡α2−sin⁡α2cos⁡α2+sin⁡α2\frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}}

Množimo brojilac i imenilac sa cos⁡α2+sin⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} kako bismo u brojiocu dobili razliku kvadrata:

(cos⁡α2−sin⁡α2)(cos⁡α2+sin⁡α2)(cos⁡α2+sin⁡α2)2\frac{\left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)}{\left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u brojiocu i kvadrat binoma u imeniocu:

cos⁡2α2−sin⁡2α2cos⁡2α2+2sin⁡α2cos⁡α2+sin⁡2α2\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Koristimo formule za dvostruki ugao cos⁡α=cos⁡2α2−sin⁡2α2 \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} i sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2, \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} , kao i osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α2+sin⁡2α2=1: \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 :

cos⁡α1+sin⁡α\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}

Vraćamo dobijeni izraz u početni izraz za levu stranu identiteta:

cos⁡α1+sin⁡α(1+sin⁡α)sin⁡α\frac{\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} (1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha}

Skraćujemo 1+sin⁡α: 1 + \sin \alpha :

cos⁡αsin⁡α\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Prepoznajemo definiciju kotangensa, čime je identitet dokazan:

ctgα\text{ctg} \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti