2582.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: 4sin⁡α2cos⁡α2(cos⁡2α2−sin⁡2α2) 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se u izrazu pojavljuju delovi koji odgovaraju formulama za sinus i kosinus dvostrukog ugla. Prvo ćemo transformisati proizvod 4sin⁡α2cos⁡α2 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2 \sin x \cos x .

4sin⁡α2cos⁡α2=2⋅(2sin⁡α2cos⁡α2)=2sin⁡α4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot \left( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \right) = 2 \sin \alpha

Zatim ćemo transformisati izraz u zagradi cos⁡2α2−sin⁡2α2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} koristeći formulu za kosinus dvostrukog ugla: cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x. \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x .

cos⁡2α2−sin⁡2α2=cos⁡(2⋅α2)=cos⁡α\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right) = \cos \alpha

Sada zamenjujemo dobijene rezultate u početni izraz:

2sin⁡α⋅cos⁡α2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha

Ponovo primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x 2 \sin x \cos x = \sin 2x kako bismo dobili konačan oblik.

2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti