2579.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: tgα=2tgα21−tg2α2, \text{tg} \alpha = \frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} , uz uslove α≠π(2k+1) \alpha \neq \pi(2k + 1) i α≠π2(2n+1), \alpha \neq \frac{\pi}{2}(2n + 1) , za k,n∈Z. k, n \in \mathbb{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od desne strane izraza i transformisati je koristeći osnovne trigonometrijske identitete kako bismo dobili levu stranu. Desna strana glasi:

D=2tgα21−tg2α2D = \frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}

Zamenimo funkciju tangensa odnosom sinusa i kosinusa:

D=2sin⁡α2cos⁡α21−sin⁡2α2cos⁡2α2D = \frac{2 \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1 - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Sredimo imenilac u glavnom razlomku pronalaženjem zajedničkog imenioca:

D=2sin⁡α2cos⁡α2cos⁡2α2−sin⁡2α2cos⁡2α2D = \frac{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}

Sredimo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova:

D=2sin⁡α2⋅cos⁡2α2cos⁡α2⋅(cos⁡2α2−sin⁡2α2)D = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot (\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2})}

Skratimo izraz sa cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} u brojiocu i imeniocu:

D=2sin⁡α2cos⁡α2cos⁡2α2−sin⁡2α2D = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Primenimo adicione formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla, gde je sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x \sin 2x = 2 \sin x \cos x i cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x. \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x . U našem slučaju x=α2: x = \frac{\alpha}{2} :

D=sin⁡(2⋅α2)cos⁡(2⋅α2)D = \frac{\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}{\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2})}

Nakon skraćivanja dvojke u argumentima funkcija, dobijamo:

D=sin⁡αcos⁡α=tgαD = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha

Ovim smo dokazali da je desna strana jednaka levoj strani, čime je identitet potvrđen.

tgα=tgα\text{tg} \alpha = \text{tg} \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti