2497.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: ctg3α=ctg3α−3ctgα3ctg2α−1, \text{ctg} 3\alpha = \frac{\text{ctg}^3 \alpha - 3 \text{ctg} \alpha}{3 \text{ctg}^2 \alpha - 1} , za α≠πk3, \alpha \neq \frac{\pi k}{3} , k∈Z. k \in \mathbf{Z} .

REŠENJE ZADATKA

Krenimo od leve strane identiteta i zapišimo argument 3α 3\alpha kao zbir 2α+α. 2\alpha + \alpha .

ctg3α=ctg(2α+α)\text{ctg} 3\alpha = \text{ctg}(2\alpha + \alpha)

Primenimo adicionu formulu za kotangens zbira: ctg(x+y)=ctg x⋅ctg y−1ctg x+ctg y. \text{ctg}(x + y) = \frac{\text{ctg } x \cdot \text{ctg } y - 1}{\text{ctg } x + \text{ctg } y} .

ctg(2α+α)=ctg 2α⋅ctg α−1ctg 2α+ctg α\text{ctg}(2\alpha + \alpha) = \frac{\text{ctg } 2\alpha \cdot \text{ctg } \alpha - 1}{\text{ctg } 2\alpha + \text{ctg } \alpha}

Sada koristimo formulu za kotangens dvostrukog ugla: ctg 2α=ctg2α−12ctg α. \text{ctg } 2\alpha = \frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg } \alpha} .

ctg3α=ctg2α−12ctg α⋅ctg α−1ctg2α−12ctg α+ctg α\text{ctg} 3\alpha = \frac{\frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg } \alpha} \cdot \text{ctg } \alpha - 1}{\frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg } \alpha} + \text{ctg } \alpha}

Sredimo brojilac i imenilac glavnog razlomka. U brojiocu skraćujemo ctg α, \text{ctg } \alpha , a u imeniocu svodimo na zajednički imenilac.

ctg3α=ctg2α−12−1ctg2α−1+2ctg2α2ctg α\text{ctg} 3\alpha = \frac{\frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1}{2} - 1}{\frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1 + 2 \text{ctg}^2 \alpha}{2 \text{ctg } \alpha}}

Dodatno sredimo izraze u brojiocu i imeniocu.

ctg3α=ctg2α−1−223ctg2α−12ctg α=ctg2α−323ctg2α−12ctg α\text{ctg} 3\alpha = \frac{\frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1 - 2}{2}}{\frac{3 \text{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg } \alpha}} = \frac{\frac{\text{ctg}^2 \alpha - 3}{2}}{\frac{3 \text{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg } \alpha}}

Rešimo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova, uz skraćivanje broja 2.

ctg3α=(ctg2α−3)⋅2ctg α2⋅(3ctg2α−1)=ctg α(ctg2α−3)3ctg2α−1\text{ctg} 3\alpha = \frac{(\text{ctg}^2 \alpha - 3) \cdot 2 \text{ctg } \alpha}{2 \cdot (3 \text{ctg}^2 \alpha - 1)} = \frac{\text{ctg } \alpha (\text{ctg}^2 \alpha - 3)}{3 \text{ctg}^2 \alpha - 1}

Množenjem u brojiocu dobijamo konačan oblik identiteta koji je trebalo dokazati.

ctg3α=ctg3α−3ctg α3ctg2α−1\text{ctg} 3\alpha = \frac{\text{ctg}^3 \alpha - 3 \text{ctg } \alpha}{3 \text{ctg}^2 \alpha - 1}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti