2699.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Zamenjujemo $q = 2$ u polaznu jednačinu:

Koristimo formulu za polovinu ugla $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ za prva dva člana:

Sređujemo izraz grupisanjem kosinusa:

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} :$

Pošto su $\alpha, \beta, \gamma$ uglovi trougla, važi $\alpha + \beta + \gamma = \pi ,$ pa je $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos \gamma :$

Zapisujemo $\sin^2 \gamma$ kao $1 - \cos^2 \gamma :$

Nakon skraćivanja konstanti, jednačina se svodi na:

Izvlačimo zajednički faktor $\cos \gamma$ ispred zagrade:

Ponovo koristimo vezu $\cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta)$ unutar zagrade:

Na osnovu formule $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) ,$ izraz u zagradi je jednak $2 \cos \alpha \cos \beta :$

Sređujemo dobijeni proizvod:

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Pošto su uglovi trougla iz intervala $(0, \pi) ,$ kosinus je nula samo za ugao od $\frac{\pi}{2}$ (odnosno $90^\circ$). Time je dokazano da je trougao pravougli.