797.v

Transformišimo izraz sa leve strane date jednakosti. Prvo koristimo formule za polovinu ugla za prva dva sabirka:

Grupišemo prva dva razlomka i primenjujemo formulu za zbir kosinusa:

Pošto su $\alpha, \beta, \gamma$ uglovi trougla, važi $\alpha + \beta = \pi - \gamma ,$ pa je $\cos(\alpha + \beta) = -\cos \gamma .$ Takođe, izražavamo $\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma :$

Izvlačimo zajednički faktor $\cos \gamma$ iz poslednja dva sabirka:

Ponovo koristimo vezu $\cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta)$ unutar zagrade:

Primenjujemo formulu za proizvod kosinusa na izraz u zagradi:

Sada izjednačavamo dobijeni izraz sa $q ,$ prema uslovu zadatka:

Izražavamo proizvod kosinusa uglova trougla:

Prema uslovu zadatka je $q > 2 ,$ što znači da je $q - 2 > 0 .$ Odatle sledi da je proizvod kosinusa pozitivan:

Da bi proizvod tri broja bio pozitivan, moraju sva tri biti pozitivna, ili tačno jedan pozitivan a dva negativna. Međutim, u trouglu ne mogu postojati dva tupa ugla (ugla čiji je kosinus negativan), jer bi njihov zbir bio veći od $\pi .$ Zato sva tri kosinusa moraju biti pozitivna:

Pošto su kosinusi svih uglova pozitivni, sledi da su svi uglovi manji od $\frac{\pi}{2} ,$ odnosno trougao je oštrougli.