2692.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Ako su α, \alpha , β \beta i γ \gamma uglovi trougla i sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ=q, \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = q , dokazati: za q<2 q < 2 trougao je tupougli;

REŠENJE ZADATKA

Znamo da je zbir uglova u trouglu π, \pi , pa važi:

α+β+γ=π  ⟹  γ=π−(α+β)\alpha + \beta + \gamma = \pi \implies \gamma = \pi - (\alpha + \beta)

Posmatrajmo izraz sa leve strane jednakosti. Iskoristićemo formule za polovinu ugla za prva dva sabirka:

sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ=1−cos⁡(2α)2+1−cos⁡(2β)2+sin⁡2γ\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(2\beta)}{2} + \sin^2 \gamma

Sređivanjem dobijamo:

1−12(cos⁡(2α)+cos⁡(2β))+sin⁡2γ1 - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)) + \sin^2 \gamma

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2: \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} :

1−cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)+sin⁡2γ1 - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) + \sin^2 \gamma

Kako je γ=π−(α+β), \gamma = \pi - (\alpha + \beta) , važi cos⁡(α+β)=−cos⁡γ \cos(\alpha + \beta) = -\cos \gamma i sin⁡2γ=1−cos⁡2γ. \sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma . Zamenom u izraz dobijamo:

1−(−cos⁡γ)cos⁡(α−β)+1−cos⁡2γ1 - (-\cos \gamma) \cos(\alpha - \beta) + 1 - \cos^2 \gamma

Sređujemo izraz i izvlačimo zajednički faktor cos⁡γ: \cos \gamma :

2+cos⁡γ(cos⁡(α−β)−cos⁡γ)2 + \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) - \cos \gamma)

Zamenjujemo cos⁡γ \cos \gamma sa −cos⁡(α+β) -\cos(\alpha + \beta) unutar zagrade:

2+cos⁡γ(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))2 + \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))

Primenom formule za zbir kosinusa na izraz u zagradi dobijamo:

2+cos⁡γ(2cos⁡αcos⁡β)=2+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ2 + \cos \gamma (2 \cos \alpha \cos \beta) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma

Prema uslovu zadatka, vrednost ovog izraza je jednaka q: q :

2+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ=q2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = q

Izražavamo proizvod kosinusa:

cos⁡αcos⁡βcos⁡γ=q−22\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = \frac{q - 2}{2}

Ako je q<2, q < 2 , tada je desna strana jednakosti negativna, pa mora važiti:

cos⁡αcos⁡βcos⁡γ<0\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma < 0

Da bi proizvod tri kosinusa uglova trougla bio negativan, tačno jedan od njih mora biti negativan (jer trougao ne može imati više od jednog tupog ugla). Kosinus je negativan samo za tupe uglove, što znači da je trougao tupougli.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti