Uglovi trougla: zbir kvadrata sinusa uglova

Znamo da je zbir uglova u trouglu $\pi ,$ pa važi:

\alpha + \beta + \gamma = \pi \implies \gamma = \pi - (\alpha + \beta)

Posmatrajmo izraz sa leve strane jednakosti. Iskoristićemo formule za polovinu ugla za prva dva sabirka:

\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(2\beta)}{2} + \sin^2 \gamma

Sređivanjem dobijamo:

1 - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)) + \sin^2 \gamma

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} :$

1 - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) + \sin^2 \gamma

Kako je $\gamma = \pi - (\alpha + \beta) ,$ važi $\cos(\alpha + \beta) = -\cos \gamma$ i $\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma .$ Zamenom u izraz dobijamo:

1 - (-\cos \gamma) \cos(\alpha - \beta) + 1 - \cos^2 \gamma

Sređujemo izraz i izvlačimo zajednički faktor $\cos \gamma :$

2 + \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) - \cos \gamma)

Zamenjujemo $\cos \gamma$ sa $-\cos(\alpha + \beta)$ unutar zagrade:

2 + \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))

Primenom formule za zbir kosinusa na izraz u zagradi dobijamo:

2 + \cos \gamma (2 \cos \alpha \cos \beta) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma

Prema uslovu zadatka, vrednost ovog izraza je jednaka $q :$

2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = q

Izražavamo proizvod kosinusa:

\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = \frac{q - 2}{2}

Ako je $q < 2 ,$ tada je desna strana jednakosti negativna, pa mora važiti:

\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma < 0

Da bi proizvod tri kosinusa uglova trougla bio negativan, tačno jedan od njih mora biti negativan (jer trougao ne može imati više od jednog tupog ugla). Kosinus je negativan samo za tupe uglove, što znači da je trougao tupougli.

Započni učenje

Online časovi

797.b

Beleške