2700.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Ako su α, \alpha , β \beta i γ \gamma uglovi trougla i sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ=q, \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = q , dokazati: za q>2 q > 2 trougao je oštrougli.

REŠENJE ZADATKA

Transformišimo izraz sa leve strane date jednakosti. Prvo koristimo formule za polovinu ugla za prva dva sabirka:

sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ=1−cos⁡2α2+1−cos⁡2β2+sin⁡2γ\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} + \sin^2 \gamma

Grupišemo prva dva razlomka i primenjujemo formulu za zbir kosinusa:

1−12(cos⁡2α+cos⁡2β)+sin⁡2γ=1−cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)+sin⁡2γ1 - \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) + \sin^2 \gamma = 1 - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + \sin^2 \gamma

Pošto su α,β,γ \alpha, \beta, \gamma uglovi trougla, važi α+β=π−γ, \alpha + \beta = \pi - \gamma , pa je cos⁡(α+β)=−cos⁡γ. \cos(\alpha + \beta) = -\cos \gamma . Takođe, izražavamo sin⁡2γ=1−cos⁡2γ: \sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma :

1+cos⁡γcos⁡(α−β)+1−cos⁡2γ=2+cos⁡γcos⁡(α−β)−cos⁡2γ1 + \cos \gamma \cos(\alpha - \beta) + 1 - \cos^2 \gamma = 2 + \cos \gamma \cos(\alpha - \beta) - \cos^2 \gamma

Izvlačimo zajednički faktor cos⁡γ \cos \gamma iz poslednja dva sabirka:

2+cos⁡γ(cos⁡(α−β)−cos⁡γ)2 + \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) - \cos \gamma)

Ponovo koristimo vezu cos⁡γ=−cos⁡(α+β) \cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta) unutar zagrade:

2+cos⁡γ(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))2 + \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))

Primenjujemo formulu za proizvod kosinusa na izraz u zagradi:

2+cos⁡γ(2cos⁡αcos⁡β)=2+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ2 + \cos \gamma (2 \cos \alpha \cos \beta) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma

Sada izjednačavamo dobijeni izraz sa q, q , prema uslovu zadatka:

2+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ=q2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = q

Izražavamo proizvod kosinusa uglova trougla:

cos⁡αcos⁡βcos⁡γ=q−22\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = \frac{q - 2}{2}

Prema uslovu zadatka je q>2, q > 2 , što znači da je q−2>0. q - 2 > 0 . Odatle sledi da je proizvod kosinusa pozitivan:

cos⁡αcos⁡βcos⁡γ>0\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma > 0

Da bi proizvod tri broja bio pozitivan, moraju sva tri biti pozitivna, ili tačno jedan pozitivan a dva negativna. Međutim, u trouglu ne mogu postojati dva tupa ugla (ugla čiji je kosinus negativan), jer bi njihov zbir bio veći od π. \pi . Zato sva tri kosinusa moraju biti pozitivna:

cos⁡α>0,cos⁡β>0,cos⁡γ>0\cos \alpha > 0, \quad \cos \beta > 0, \quad \cos \gamma > 0

Pošto su kosinusi svih uglova pozitivni, sledi da su svi uglovi manji od π2, \frac{\pi}{2} , odnosno trougao je oštrougli.

α,β,γ<π2\alpha, \beta, \gamma < \frac{\pi}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti