Dokaz identiteta: 1 + sin x preko kosinusa

Polazimo od desne strane jednakosti. Izraz $\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)$ možemo zapisati kao proizvod dva ista kosinusa.

2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda kosinusa u zbir: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) ,$ gde je $\alpha = \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} .$

2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos \left( \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) + \cos \left( \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) \right)

Računamo zbir i razliku uglova unutar kosinusa i kratimo dvojke ispred zagrade.

\cos \left( \frac{2\pi}{4} - \frac{2x}{2} \right) + \cos(0) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \cos(0)

Koristimo poznate vrednosti i trigonometrijske veze za komplementarne uglove: $\cos(0) = 1$ i $\cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x .$

\sin x + 1

Preuređivanjem sabiraka dobijamo levu stranu početne jednakosti, čime je dokaz završen.

1 + \sin x

Započni učenje

Online časovi

773.a

Beleške