Dokaz identiteta: 1 − cos x = 2 sin kvadrat x/2

Da bismo dokazali identitet, koristićemo formulu za razliku kosinusa: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .$ Primetimo da broj $1$ možemo zapisati kao $\cos 0 .$

Transformišemo levu stranu identiteta zamenom $1$ sa $\cos 0 :$

1 - \cos x = \cos 0 - \cos x

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa gde je $\alpha = 0$ i $\beta = x :$

\cos 0 - \cos x = -2 \sin \frac{0 + x}{2} \sin \frac{0 - x}{2}

Sređujemo argumente funkcija unutar sinusa:

-2 \sin \frac{x}{2} \sin \left( -\frac{x}{2} \right)

Koristimo osobinu neparnosti sinusne funkcije $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha :$

-2 \sin \frac{x}{2} \cdot \left( -\sin \frac{x}{2} \right)

Množenjem dva negativna faktora dobijamo pozitivan rezultat i grupišemo iste funkcije:

2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}

Ovim smo pokazali da je leva strana identiteta jednaka desnoj, čime je dokaz završen.

1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}

Započni učenje

Online časovi

763.b

Beleške