2639.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: cos⁡23+cos⁡21−cos⁡4cos⁡2=1. \cos^2 3 + \cos^2 1 - \cos 4 \cos 2 = 1 .

cos⁡23+cos⁡21−cos⁡4cos⁡2=1\cos^2 3 + \cos^2 1 - \cos 4 \cos 2 = 1
REŠENJE ZADATKA

Koristimo formule za snižavanje stepena cos⁡2α=1+cos⁡2α2 \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} kako bismo transformisali kvadrate kosinusa u izrazu.

cos⁡23=1+cos⁡62,cos⁡21=1+cos⁡22\cos^2 3 = \frac{1 + \cos 6}{2}, \quad \cos^2 1 = \frac{1 + \cos 2}{2}

Zamenjujemo dobijene izraze u levu stranu jednakosti.

L=1+cos⁡62+1+cos⁡22−cos⁡4cos⁡2L = \frac{1 + \cos 6}{2} + \frac{1 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2

Sređujemo prva dva razlomka sabiranjem.

L=1+cos⁡6+1+cos⁡22−cos⁡4cos⁡2=2+cos⁡6+cos⁡22−cos⁡4cos⁡2L = \frac{1 + \cos 6 + 1 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 = \frac{2 + \cos 6 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2

Rastavljamo razlomak na dva dela.

L=1+cos⁡6+cos⁡22−cos⁡4cos⁡2L = 1 + \frac{\cos 6 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2

Primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda kosinusa u zbir: cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)) \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) na član cos⁡4cos⁡2. \cos 4 \cos 2 .

cos⁡4cos⁡2=12(cos⁡(4+2)+cos⁡(4−2))=12(cos⁡6+cos⁡2)\cos 4 \cos 2 = \frac{1}{2}(\cos(4 + 2) + \cos(4 - 2)) = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2)

Uvrštavamo transformisani proizvod nazad u izraz za L. L .

L=1+cos⁡6+cos⁡22−cos⁡6+cos⁡22L = 1 + \frac{\cos 6 + \cos 2}{2} - \frac{\cos 6 + \cos 2}{2}

Primećujemo da se poslednja dva člana potiru, čime dobijamo krajnji rezultat.

L=1+0=1L = 1 + 0 = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti