2631.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡3αcos⁡3α=132(3sin⁡2α−sin⁡6α)\sin^3 \alpha \cos^3 \alpha = \frac{1}{32}(3 \sin 2\alpha - \sin 6\alpha)
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo levu stranu izraza koristeći osobinu stepena i formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α, \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha , odakle je sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α. \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha .

sin⁡3αcos⁡3α=(sin⁡αcos⁡α)3=(12sin⁡2α)3\sin^3 \alpha \cos^3 \alpha = (\sin \alpha \cos \alpha)^3 = \left( \frac{1}{2} \sin 2\alpha \right)^3

Stepenujemo izraz u zagradi:

(12sin⁡2α)3=18sin⁡32α\left( \frac{1}{2} \sin 2\alpha \right)^3 = \frac{1}{8} \sin^3 2\alpha

Sada koristimo identitet za sinus trostrukog ugla sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x. \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x . Iz ove formule izražavamo sin⁡3x: \sin^3 x :

4sin⁡3x=3sin⁡x−sin⁡3x  ⟹  sin⁡3x=14(3sin⁡x−sin⁡3x)4 \sin^3 x = 3 \sin x - \sin 3x \implies \sin^3 x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x)

Primenjujemo dobijenu formulu na naš izraz, gde je x=2α: x = 2\alpha :

sin⁡32α=14(3sin⁡2α−sin⁡(3⋅2α))=14(3sin⁡2α−sin⁡6α)\sin^3 2\alpha = \frac{1}{4}(3 \sin 2\alpha - \sin(3 \cdot 2\alpha)) = \frac{1}{4}(3 \sin 2\alpha - \sin 6\alpha)

Vraćamo ovaj rezultat u izraz sa početka drugog koraka:

18⋅[14(3sin⁡2α−sin⁡6α)]\frac{1}{8} \cdot \left[ \frac{1}{4}(3 \sin 2\alpha - \sin 6\alpha) \right]

Množenjem razlomaka dobijamo konačan oblik identiteta:

132(3sin⁡2α−sin⁡6α)\frac{1}{32}(3 \sin 2\alpha - \sin 6\alpha)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti