2623.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza: sin⁡5π12cos⁡7π12 \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicionu formulu za transformaciju proizvoda sinusa i kosinusa u zbir:

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))

Uvrštavamo vrednosti α=5π12 \alpha = \frac{5\pi}{12} i β=7π12 \beta = \frac{7\pi}{12} u formulu:

sin⁡5π12cos⁡7π12=12(sin⁡(5π12+7π12)+sin⁡(5π12−7π12))\sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} \right) + \sin \left( \frac{5\pi}{12} - \frac{7\pi}{12} \right) \right)

Sređujemo izraze unutar zagrada:

5π12+7π12=12π12=π5π12−7π12=−2π12=−π6\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi \\ \frac{5\pi}{12} - \frac{7\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u izraz:

12(sin⁡π+sin⁡(−π6))\frac{1}{2} \left( \sin \pi + \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right)

Koristimo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija i činjenicu da je sinus neparna funkcija sin⁡(−x)=−sin⁡x: \sin(-x) = -\sin x :

sin⁡π=0sin⁡(−π6)=−sin⁡π6=−12\sin \pi = 0 \\ \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}

Računamo konačnu vrednost izraza:

12(0−12)=12⋅(−12)=−14\frac{1}{2} \left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti