2615.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: sin⁡3αcos⁡α=18(2sin⁡2α−sin⁡4α). \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{8}(2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha) .

REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta. Prvo ćemo transformisati izraz sin⁡3α \sin^3 \alpha tako što ćemo ga napisati kao proizvod sin⁡2α⋅sin⁡α, \sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha , a zatim iskoristiti formulu za sinus dvostrukog ugla.

L=sin⁡3αcos⁡α=sin⁡2α(sin⁡αcos⁡α)L = \sin^3 \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha (\sin \alpha \cos \alpha)

Znamo da je sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α, \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha , odakle sledi sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α. \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha . Takođe, koristimo formulu za kvadrat sinusa preko kosinusa dvostrukog ugla: sin⁡2α=1−cos⁡2α2. \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} .

L=(1−cos⁡2α2)⋅(12sin⁡2α)L = \left( \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 2\alpha \right)

Sređujemo izraz množenjem konstanti i oslobađanjem zagrade:

L=14(1−cos⁡2α)sin⁡2α=14(sin⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α)L = \frac{1}{4} (1 - \cos 2\alpha) \sin 2\alpha = \frac{1}{4} (\sin 2\alpha - \sin 2\alpha \cos 2\alpha)

Primenjujemo ponovo formulu za sinus dvostrukog ugla na član sin⁡2αcos⁡2α. \sin 2\alpha \cos 2\alpha . Kako je sin⁡(2⋅2α)=2sin⁡2αcos⁡2α, \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha , imamo:

sin⁡2αcos⁡2α=12sin⁡4α\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 4\alpha

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u formulu za levu stranu:

L=14(sin⁡2α−12sin⁡4α)L = \frac{1}{4} \left( \sin 2\alpha - \frac{1}{2} \sin 4\alpha \right)

Izvlačimo zajednički faktor 12 \frac{1}{2} iz zagrade kako bismo dobili traženi oblik desne strane identiteta:

L=14⋅12(2sin⁡2α−sin⁡4α)=18(2sin⁡2α−sin⁡4α)L = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha) = \frac{1}{8} (2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha)

Zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj strani, čime je identitet dokazan.

L=DL = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti