2613. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Počinjemo od leve strane identiteta i transformišemo kvadrat sinusa koristeći formulu za polovinu ugla ili transformaciju proizvoda u zbir.

\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

Slično, transformišemo kub kosinusa koristeći identitet za trostruki ugao ili postepeno množenje. Znamo da je $\cos^3 \alpha = \frac{3 \cos \alpha + \cos 3\alpha}{4} .$ Zamenimo ove izraze u levu stranu.

L = \left( \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \right) \cdot \left( \frac{3 \cos \alpha + \cos 3\alpha}{4} \right)

Izvučemo konstante ispred zagrade i pomnožimo preostale članove.

L = \frac{1}{8} (1 - \cos 2\alpha)(3 \cos \alpha + \cos 3\alpha) = \frac{1}{8} (3 \cos \alpha + \cos 3\alpha - 3 \cos 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha \cos 3\alpha)

Primenimo formulu za proizvod kosinusa $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$ na članove $\cos 2\alpha \cos \alpha$ i $\cos 2\alpha \cos 3\alpha .$

3 \cos 2\alpha \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{2} (\cos 3\alpha + \cos \alpha) = \frac{3}{2} \cos 3\alpha + \frac{3}{2} \cos \alpha

Sada transformišemo drugi proizvod.

\cos 2\alpha \cos 3\alpha = \frac{1}{2} (\cos 5\alpha + \cos \alpha)

Vratimo dobijene izraze u glavni izraz i sredimo ga.

L = \frac{1}{8} \left( 3 \cos \alpha + \cos 3\alpha - \left( \frac{3}{2} \cos 3\alpha + \frac{3}{2} \cos \alpha \right) - \left( \frac{1}{2} \cos 5\alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha \right) \right)

Svedemo sve članove na zajednički imenilac unutar zagrade.

L = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos \alpha + 2 \cos 3\alpha - 3 \cos 3\alpha - 3 \cos \alpha - \cos 5\alpha - \cos \alpha)

Grupišemo slične članove i dobijamo konačan oblik.

L = \frac{1}{16} ( (6 - 3 - 1) \cos \alpha + (2 - 3) \cos 3\alpha - \cos 5\alpha ) = \frac{1}{16} (2 \cos \alpha - \cos 3\alpha - \cos 5\alpha)

Ovim je identitet dokazan jer je leva strana jednaka desnoj.

L = D

756.v