2613.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

\sin^2 \alpha \cos^3 \alpha = \frac{1}{16}(2 \cos \alpha - \cos 3\alpha - \cos 5\alpha) .

REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta i transformišemo kvadrat sinusa koristeći formulu za polovinu ugla ili transformaciju proizvoda u zbir.

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

Slično, transformišemo kub kosinusa koristeći identitet za trostruki ugao ili postepeno množenje. Znamo da je cos⁡3α=3cos⁡α+cos⁡3α4. \cos^3 \alpha = \frac{3 \cos \alpha + \cos 3\alpha}{4} . Zamenimo ove izraze u levu stranu.

L=(1−cos⁡2α2)⋅(3cos⁡α+cos⁡3α4)L = \left( \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \right) \cdot \left( \frac{3 \cos \alpha + \cos 3\alpha}{4} \right)

Izvučemo konstante ispred zagrade i pomnožimo preostale članove.

L=18(1−cos⁡2α)(3cos⁡α+cos⁡3α)=18(3cos⁡α+cos⁡3α−3cos⁡2αcos⁡α−cos⁡2αcos⁡3α)L = \frac{1}{8} (1 - \cos 2\alpha)(3 \cos \alpha + \cos 3\alpha) = \frac{1}{8} (3 \cos \alpha + \cos 3\alpha - 3 \cos 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha \cos 3\alpha)

Primenimo formulu za proizvod kosinusa cos⁡xcos⁡y=12(cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)) \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) na članove cos⁡2αcos⁡α \cos 2\alpha \cos \alpha i cos⁡2αcos⁡3α. \cos 2\alpha \cos 3\alpha .

3cos⁡2αcos⁡α=3⋅12(cos⁡3α+cos⁡α)=32cos⁡3α+32cos⁡α3 \cos 2\alpha \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{2} (\cos 3\alpha + \cos \alpha) = \frac{3}{2} \cos 3\alpha + \frac{3}{2} \cos \alpha

Sada transformišemo drugi proizvod.

cos⁡2αcos⁡3α=12(cos⁡5α+cos⁡α)\cos 2\alpha \cos 3\alpha = \frac{1}{2} (\cos 5\alpha + \cos \alpha)

Vratimo dobijene izraze u glavni izraz i sredimo ga.

L=18(3cos⁡α+cos⁡3α−(32cos⁡3α+32cos⁡α)−(12cos⁡5α+12cos⁡α))L = \frac{1}{8} \left( 3 \cos \alpha + \cos 3\alpha - \left( \frac{3}{2} \cos 3\alpha + \frac{3}{2} \cos \alpha \right) - \left( \frac{1}{2} \cos 5\alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha \right) \right)

Svedemo sve članove na zajednički imenilac unutar zagrade.

L=18⋅12(6cos⁡α+2cos⁡3α−3cos⁡3α−3cos⁡α−cos⁡5α−cos⁡α)L = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos \alpha + 2 \cos 3\alpha - 3 \cos 3\alpha - 3 \cos \alpha - \cos 5\alpha - \cos \alpha)

Grupišemo slične članove i dobijamo konačan oblik.

L=116((6−3−1)cos⁡α+(2−3)cos⁡3α−cos⁡5α)=116(2cos⁡α−cos⁡3α−cos⁡5α)L = \frac{1}{16} ( (6 - 3 - 1) \cos \alpha + (2 - 3) \cos 3\alpha - \cos 5\alpha ) = \frac{1}{16} (2 \cos \alpha - \cos 3\alpha - \cos 5\alpha)

Ovim je identitet dokazan jer je leva strana jednaka desnoj.

L=DL = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti