2428.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Za merni broj ugla α∈[0,2π] \alpha \in [0, 2\pi] odrediti znake izraza: 1−sin⁡α 1 - \sin \alpha ; Za koje vrednosti ugla α \alpha izraza pod a) i b) imaju najmanju, a za koje najveću vrednost?

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili znak izraza, podsetimo se da vrednost sinusne funkcije za bilo koji realan ugao pripada intervalu [−1,1]. [-1, 1] .

−1≤sin⁡α≤1-1 \le \sin \alpha \le 1

Množenjem nejednakosti sa −1 -1 i dodavanjem broja 1, 1 , dobijamo granice u kojima se nalazi dati izraz.

0≤1−sin⁡α≤20 \le 1 - \sin \alpha \le 2

Na osnovu prethodne nejednakosti zaključujemo da je izraz uvek nenegativan, odnosno njegov znak je pozitivan svuda osim tamo gde je jednak nuli.

1−sin⁡α≥0,∀α∈[0,2π]1 - \sin \alpha \ge 0, \quad \forall \alpha \in [0, 2\pi]

Izraz 1−sin⁡α 1 - \sin \alpha će imati najmanju vrednost kada funkcija sin⁡α \sin \alpha dostigne svoju najveću vrednost na datom intervalu.

sin⁡α=1\sin \alpha = 1

Na intervalu [0,2π], [0, 2\pi] , sinus ima vrednost 1 1 samo za jedan ugao.

α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}

Najmanja vrednost izraza iznosi:

1−1=01 - 1 = 0

Izraz 1−sin⁡α 1 - \sin \alpha će imati najveću vrednost kada funkcija sin⁡α \sin \alpha dostigne svoju najmanju vrednost.

sin⁡α=−1\sin \alpha = -1

Na intervalu [0,2π], [0, 2\pi] , sinus ima vrednost −1 -1 za sledeći ugao:

α=3π2\alpha = \frac{3\pi}{2}

Najveća vrednost izraza iznosi:

1−(−1)=21 - (-1) = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti