Zbir kvadrata sinusa od 1 do 89 stepeni

Da bismo uprostili dati izraz, koristićemo vezu između sinusa i kosinusa komplementarnih uglova:

\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

Primenimo ovo pravilo na uglove veće od $45^\circ$ u našem izrazu:

\sin 89^\circ = \cos 1^\circ, \quad \sin 88^\circ = \cos 2^\circ, \quad \dots, \quad \sin 46^\circ = \cos 44^\circ

Zamenimo ove vrednosti u početni izraz i grupišimo odgovarajuće članove. Izraz ima ukupno 89 članova, pa će srednji član $\sin^2 45^\circ$ ostati bez para.

(\sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \cos^2 2^\circ) + \dots + (\sin^2 44^\circ + \cos^2 44^\circ) + \sin^2 45^\circ

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet na svaku zagradu:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Pošto imamo tačno 44 takve zagrade, zbir svih parova je 44. Preostaje nam da dodamo vrednost za $\sin^2 45^\circ .$

44 \cdot 1 + \sin^2 45^\circ

Znamo da je $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ,$ pa računamo njegov kvadrat:

\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Sabiramo dobijene vrednosti da bismo došli do konačnog rezultata:

44 + \frac{1}{2} = \frac{88}{2} + \frac{1}{2} = \frac{89}{2}

Započni učenje

Online časovi

639.d

Beleške