2425.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraze:

sin⁡21∘+sin⁡22∘+sin⁡23∘+⋯+sin⁡288∘+sin⁡289∘\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \dots + \sin^2 88^\circ + \sin^2 89^\circ
REŠENJE ZADATKA

Da bismo uprostili dati izraz, koristićemo vezu između sinusa i kosinusa komplementarnih uglova:

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

Primenimo ovo pravilo na uglove veće od 45∘ 45^\circ u našem izrazu:

sin⁡89∘=cos⁡1∘,sin⁡88∘=cos⁡2∘,…,sin⁡46∘=cos⁡44∘\sin 89^\circ = \cos 1^\circ, \quad \sin 88^\circ = \cos 2^\circ, \quad \dots, \quad \sin 46^\circ = \cos 44^\circ

Zamenimo ove vrednosti u početni izraz i grupišimo odgovarajuće članove. Izraz ima ukupno 89 članova, pa će srednji član sin⁡245∘ \sin^2 45^\circ ostati bez para.

(sin⁡21∘+cos⁡21∘)+(sin⁡22∘+cos⁡22∘)+⋯+(sin⁡244∘+cos⁡244∘)+sin⁡245∘(\sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \cos^2 2^\circ) + \dots + (\sin^2 44^\circ + \cos^2 44^\circ) + \sin^2 45^\circ

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet na svaku zagradu:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Pošto imamo tačno 44 takve zagrade, zbir svih parova je 44. Preostaje nam da dodamo vrednost za sin⁡245∘. \sin^2 45^\circ .

44⋅1+sin⁡245∘44 \cdot 1 + \sin^2 45^\circ

Znamo da je sin⁡45∘=22, \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} , pa računamo njegov kvadrat:

sin⁡245∘=(22)2=24=12\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Sabiramo dobijene vrednosti da bismo došli do konačnog rezultata:

44+12=882+12=89244 + \frac{1}{2} = \frac{88}{2} + \frac{1}{2} = \frac{89}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti