2426.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

tg 1∘tg 2∘tg 3∘…tg 88∘tg 89∘\text{tg } 1^\circ \text{tg } 2^\circ \text{tg } 3^\circ \dots \text{tg } 88^\circ \text{tg } 89^\circ
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se izraz sastoji od proizvoda tangenasa uglova od 1∘ 1^\circ do 89∘. 89^\circ . Možemo grupisati prvi i poslednji član, drugi i pretposlednji, i tako dalje.

tg 1∘⋅tg 89∘⋅tg 2∘⋅tg 88∘…tg 44∘⋅tg 46∘⋅tg 45∘\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 89^\circ \cdot \text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 88^\circ \dots \text{tg } 44^\circ \cdot \text{tg } 46^\circ \cdot \text{tg } 45^\circ

Koristimo trigonometrijski identitet za komplementarne uglove:

tg (90∘−α)=ctg α\text{tg } (90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha

Primenom ovog identiteta na uglove veće od 45∘, 45^\circ , dobijamo:

tg 89∘=tg (90∘−1∘)=ctg 1∘tg 88∘=tg (90∘−2∘)=ctg 2∘…tg 46∘=tg (90∘−44∘)=ctg 44∘\begin{aligned} \text{tg } 89^\circ &= \text{tg } (90^\circ - 1^\circ) = \text{ctg } 1^\circ \\ \text{tg } 88^\circ &= \text{tg } (90^\circ - 2^\circ) = \text{ctg } 2^\circ \\ &\dots \\ \text{tg } 46^\circ &= \text{tg } (90^\circ - 44^\circ) = \text{ctg } 44^\circ \end{aligned}

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz i grupišemo odgovarajuće parove. Srednji član, tg 45∘, \text{tg } 45^\circ , nema svog para i ostaje sam.

(tg 1∘⋅ctg 1∘)⋅(tg 2∘⋅ctg 2∘)…(tg 44∘⋅ctg 44∘)⋅tg 45∘(\text{tg } 1^\circ \cdot \text{ctg } 1^\circ) \cdot (\text{tg } 2^\circ \cdot \text{ctg } 2^\circ) \dots (\text{tg } 44^\circ \cdot \text{ctg } 44^\circ) \cdot \text{tg } 45^\circ

Koristimo identitet tg α⋅ctg α=1. \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 . Svaka zagrada u proizvodu je jednaka 1. 1 .

1⋅1…1⋅tg 45∘1 \cdot 1 \dots 1 \cdot \text{tg } 45^\circ

Takođe znamo osnovnu trigonometrijsku vrednost za ugao od 45∘: 45^\circ :

tg 45∘=1\text{tg } 45^\circ = 1

Množenjem svih ovih jedinica dobijamo konačan rezultat.

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti