2426. Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

Primetimo da se izraz sastoji od proizvoda tangenasa uglova od $1^\circ$ do $89^\circ .$ Možemo grupisati prvi i poslednji član, drugi i pretposlednji, i tako dalje.

\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 89^\circ \cdot \text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 88^\circ \dots \text{tg } 44^\circ \cdot \text{tg } 46^\circ \cdot \text{tg } 45^\circ

Koristimo trigonometrijski identitet za komplementarne uglove:

\text{tg } (90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha

Primenom ovog identiteta na uglove veće od $45^\circ ,$ dobijamo:

\begin{aligned} \text{tg } 89^\circ &= \text{tg } (90^\circ - 1^\circ) = \text{ctg } 1^\circ \\ \text{tg } 88^\circ &= \text{tg } (90^\circ - 2^\circ) = \text{ctg } 2^\circ \\ &\dots \\ \text{tg } 46^\circ &= \text{tg } (90^\circ - 44^\circ) = \text{ctg } 44^\circ \end{aligned}

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz i grupišemo odgovarajuće parove. Srednji član, $\text{tg } 45^\circ ,$ nema svog para i ostaje sam.

(\text{tg } 1^\circ \cdot \text{ctg } 1^\circ) \cdot (\text{tg } 2^\circ \cdot \text{ctg } 2^\circ) \dots (\text{tg } 44^\circ \cdot \text{ctg } 44^\circ) \cdot \text{tg } 45^\circ

Koristimo identitet $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 .$ Svaka zagrada u proizvodu je jednaka $1 .$

1 \cdot 1 \dots 1 \cdot \text{tg } 45^\circ

Takođe znamo osnovnu trigonometrijsku vrednost za ugao od $45^\circ :$

\text{tg } 45^\circ = 1

Množenjem svih ovih jedinica dobijamo konačan rezultat.

1

639.g