2427.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Za merni broj ugla α∈[0,2π] \alpha \in [0, 2\pi] odrediti znake izraza: 1−cos⁡α 1 - \cos \alpha ; Za koje vrednosti ugla α \alpha izraza pod a) i b) imaju najmanju, a za koje najveću vrednost?

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti znak izraza 1−cos⁡α. 1 - \cos \alpha . Poznato je da za svaki ugao α \alpha važi osnovno ograničenje za funkciju kosinus:

−1≤cos⁡α≤1-1 \le \cos \alpha \le 1

Množenjem nejednakosti sa −1 -1 (pri čemu se znakovi nejednakosti obrću) dobijamo:

−1≤−cos⁡α≤1-1 \le -\cos \alpha \le 1

Dodavanjem broja 1 1 svim stranama nejednakosti dobijamo granice za naš izraz:

0≤1−cos⁡α≤20 \le 1 - \cos \alpha \le 2

Iz ovoga zaključujemo da je izraz 1−cos⁡α 1 - \cos \alpha uvek nenegativan, odnosno veći ili jednak nuli za svako α∈[0,2π]. \alpha \in [0, 2\pi] .

1−cos⁡α≥01 - \cos \alpha \ge 0

Sada tražimo najmanju vrednost izraza. Izraz će imati najmanju vrednost kada cos⁡α \cos \alpha ima najveću moguću vrednost, a to je 1. 1 .

min⁡(1−cos⁡α)=1−1=0\min(1 - \cos \alpha) = 1 - 1 = 0

Najmanja vrednost je 0 0 i dostiže se kada je cos⁡α=1. \cos \alpha = 1 . Na zadatom intervalu [0,2π], [0, 2\pi] , to se dešava za uglove:

α∈{0,2π}\alpha \in \{0, 2\pi\}

Zatim tražimo najveću vrednost izraza. Izraz će imati najveću vrednost kada cos⁡α \cos \alpha ima najmanju moguću vrednost, a to je −1. -1 .

max⁡(1−cos⁡α)=1−(−1)=2\max(1 - \cos \alpha) = 1 - (-1) = 2

Najveća vrednost je 2 2 i dostiže se kada je cos⁡α=−1. \cos \alpha = -1 . Na zadatom intervalu [0,2π], [0, 2\pi] , to se dešava za ugao:

α=π\alpha = \pi

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti