2423. Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

Prvo ćemo svesti ugao od $1995^\circ$ na ugao u prvom krugu (od $0^\circ$ do $360^\circ$ ). Deljenjem sa $360^\circ$ dobijamo:

1995^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 195^\circ

Trigonometrijske funkcije su periodične sa osnovnim periodom $360^\circ$ (za sinus) i $180^\circ$ (za tangens i kotangens), pa možemo odbaciti pune krugove.

\begin{aligned} a &= \sin 195^\circ \\ b &= \text{tg } 195^\circ \\ c &= \text{ctg } 195^\circ \end{aligned}

Ugao od $195^\circ$ se nalazi u trećem kvadrantu. Zapisujemo ga kao zbir $180^\circ + 15^\circ$ i primenjujemo redukcione formule:

\begin{aligned} a &= \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ \\ b &= \text{tg }(180^\circ + 15^\circ) = \text{tg } 15^\circ \\ c &= \text{ctg }(180^\circ + 15^\circ) = \text{ctg } 15^\circ \end{aligned}

S obzirom na to da je $15^\circ$ oštar ugao (pripada prvom kvadrantu), njegov sinus je pozitivan ( $\sin 15^\circ > 0$ ). Zbog znaka minus, vrednost $a$ je negativna.

a = -\sin 15^\circ < 0

Tangens i kotangens ugla u prvom kvadrantu su pozitivni, pa su vrednosti $b$ i $c$ veće od nule.

b > 0, \quad c > 0

Pošto je $a$ negativan broj, a $b$ i $c$ su pozitivni brojevi, zaključujemo da je $a$ najmanji od ova tri broja.

a < b \quad \text{i} \quad a < c

Sada treba uporediti $b$ i $c .$ Funkcija tangens je rastuća na intervalu $(0^\circ, 90^\circ) .$ Pošto je $15^\circ < 45^\circ ,$ važi:

b = \text{tg } 15^\circ < \text{tg } 45^\circ = 1

Kotangens je recipročna vrednost tangensa. Pošto je $0 < \text{tg } 15^\circ < 1 ,$ njegova recipročna vrednost mora biti veća od 1.

c = \text{ctg } 15^\circ = \frac{1}{\text{tg } 15^\circ} > 1

Iz prethodnih koraka imamo da je $a < 0 ,$ $0 < b < 1$ i $c > 1 .$ Spajanjem ovih nejednakosti dobijamo konačan redosled, čime je dokaz završen.

c > b > a

641